In questa lezione ti spiegherò come si calcola la differenza tra insiemi, detta anche differenza insiemistica.
Il termine “differenza” ci dice che bisogna sottrarre qualcosa, ma la differenza tra numeri è un po’ diversa rispetto a quella che si fa sugli insiemi. Vediamo in cosa consiste.
INDICE
Differenza tra due insiemi
La differenza tra due insiemi A e B è un insieme che contiene tutti gli elementi di A che non appartengono a B. Tale operazione si indica nel seguente modo:
A \ B oppure A – B
ESEMPIO: Considero la differenza tra l’insieme A = {1,2,3,4,5,6} e l’insieme B = {4,5,6,7,8,9,10}. Il risultato è l’insieme C = A \ B = {1,2,3} costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.
ESEMPIO: Considero la differenza tra l’insieme B = {4,5,6,7,8,9,10} e l’insieme A = {1,2,3,4,5,6}. Il risultato è l’insieme C = B \ A = {7,8,9,10}, costituito dagli elementi di B che non appartengono ad A.
NOTA: la differenza tra due insiemi NON gode della proprietà commutativa, cioè:
A – B ≠ B – A .
Dai due esempi precedenti è evidente che sottrarre l’insieme B da A è diverso dal sottrarre A da B (cioè ottengo due risultati diversi). Soltanto se A e B sono uguali si ha che A – B = B – A.
Proprietà della differenza tra insiemi
Proprietà 1. Se A e B sono due insiemi che non hanno elementi in comune, la differenza tra A e B è uguale all’insieme A, e viceversa la differenza tra B ed A è uguale all’insieme B.
Scriviamolo in formule:
Se A ∩ B = Ø si ha che A – B = A;
Se A ∩ B = Ø si ha che B – A = B.
Proprietà 2. Se B è un sottoinsieme proprio di un insieme A, la differenza tra B ed A è l’insieme vuoto.
Scritto in formule:
Se B ⊂ A si ha che B – A = Ø
Proprietà 3. Se B è un sottoinsieme improprio di un insieme A (cioè B = A oppure B = Ø), la differenza tra A e B è:
1. A – A = Ø
2. A – Ø = A
3. Ø – A = Ø
Osservazioni
1. La differenza tra insiemi NON gode della proprietà di idempotenza, cioè:
A – A ≠ A
2. Quando si parla di “differenza tra insiemi” bisogna fare attenzione, perché esistono due tipi di differenza. Una è quella che abbiamo appena spiegato, mentre l’altra è la differenza simmetrica, che sarà spiegata nella lezione successiva. Fai attenzione a non confondere le due operazioni perché sono diverse tra loro.