Insiemistica

Concetti di insiemistica

Dato un insieme S, si denota con il simbolo |S| l'ordine di S, ossia il numero di elementi di S.

Consideriamo per esempio l'insieme B={a, b, c, d, e}. L'ordine di B, ossia il numero di elementi di B, è: |B| = 5.

All'idea di "ordine" è strettamente collegato il concetto di "finito" e "infinito". Un insieme si dice finito se il numero di elementi (il suo ordine) è finito; altrimenti si dice infinito.

Se un insieme non contiene elementi si definisce "vuoto" e tale condizione si indica con il simbolo "∅", mentre se un insieme contiene un solo elemento si definisce "singleton".

In insiemistica ci sono tre modi diversi per rappresentare gli insiemi:

1. Elencando gli elementi dell'insieme
2. Stabilire una proprietà che sia soddisfatta da tutti gli elementi dell'insieme
3. Rappresentare l'insieme graficamente con il diagramma di Venn

Ad esempio:

1. A

• {1,2,3,4,5,6}Questo metodo è valido finché l'insieme è finito o gli elementi da rappresentare non sono di numero elevato 2
• B={ x : x è un numero pari }I "due punti" vengono letti "tale che". Quindi in questo caso l'insieme B contiene tutti gli elementi "x" tale che "x" è un numero pari
• .1 .2.3 .4

SOTTOINSIEMI:

Sia A un insieme. Un insieme B si dice "sottoinsieme" di A se ogni elemento dell'insieme B appartiene all'insieme A, in simboli: B⊆A, b ∈ A, ∀ b∈B (b appartiene ad A per ogni elemento b preso dall'insieme B)

Questo simbolo "∀" significa "per ogni" ed è un quantificatore universale. Esistono inoltre due quantificatori esistenziali: ∃ : Esiste ∃! : Esiste ed è unico.

Nel caso in cui l'insieme A ⊆ B e B ⊆ A allora A=B, i due insiemi sono uguali. Bisogna ricordare che qualsiasi

insieme hasicuramente due sottoinsiemi che vengono definiti“banali” . I sottoinsiemi banali di un insieme datosono: l’insieme vuoto e l’insieme stesso

ES: A={1,2,3,4,5,6}

I sottoinsiemi banali di A sono: ∅ ed A.

Se A è un insieme finito con I A I=n, allora Apossiede esattamente sottoinsiemi.n2

UNIONE:

Siamo A e B insiemi . Si definisce unione di A e B l'insieme:

A U B={ x : x ∈ A oppure x ∈ B }

ES: A = { 1,2 ,3,4,5 } B = { 3,4,5,6,7,8}

AUB = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }

Inoltre se x ∉ A U B, allora x∉A ed x∉B.

L’operazione dell’unione segue delle proprietàfondamentali:

1. A U B = B U A (proprietà commutativa)
2. A U ∅ = A
3. A U A = A (proprietà iterativa)
4. (A U B ) U C = A U ( B U C ) (proprietàassociativa)

INTERSEZIONE:

Siano A e B insiemi . Si definisce intersezione di A eB l' insieme

A ∩ B ={ x : x ∈ A e x ∈ B}

ES: C={ 2,4,5,6 }; D={ 3,4,6,7,8};

C ∩ D ={ 4,6 }

Inoltre se

• x ∉ A ∩ B, allora x∉A oppure x∉B.
• L'operazione dell'intersezione segue delle proprietà fondamentali:
1. A ∩ B = B ∩ A (proprietà commutativa)
2. A ∩ ∅ = ∅
3. A ∩ A = A (proprietà iterativa)
4. (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (proprietà associativa)
• DIFFERENZA:

Siano A e B insiemi. Si definisce differenza tra A e B l'insieme:

A \ B ={ x : x ∈ A e x ∉ B}

ES: A={ 1,2,3,4,5,6}; B={4,5,6,7,8}; A\B={1,2,3};

Inoltre se x ∉ A \ B, allora x∉A oppure x∈B.

L'operazione della differenza segue delle proprietà fondamentali:

1. In generale non è vero che A\B=B\A
2. A\∅=A
3. A\A=∅
4. In generale non è vero che (A\B)\C = A\(B\C)
• UNIONE DISGIUNTA:

Siano A e B insiemi. Si definisce unione disgiunta di A e B l'insieme:

A Ů B = { x: x ∈ (A U B ) \ (A ∩ B) }

ES : A ={ 1,2,3,4,5} ; B={3,4,5,6,7,8}

A U B={1,2,3,4,5,6,7,8}; A ∩ B={ 3,4,5}

Ů B = {1,2,6,7,8}

Inoltre se x ∉ A Ů B, allora x ∉ A U B oppure x∈ B ∩ A

DIFFERENZA SIMMETRICA:

Definisco differenza simmetrica di A e B l'insieme:

A ∆ B ={ x : x ∈ (A \ B ) U (B \ A)}

E' dimostrato che : A Ů B = A ∆ B

Formule di De Morgan:

Siano A, B, C insiemi. Allora:

1) A \ ( B U C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C )

2) A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B ) U ( A \ C )

INSIEME DELLE PARTI:

Sia A un insieme . Si definisce insieme delle parti di A l' insieme P(A) che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di A. Quindi:

P ( A )={ B : B ⊆ A }