Differenza tra insiemi

La differenza tra insiemi, indicata con il simbolo - o con il simbolo \, è un'operazione insiemistica che permette di escludere da un insieme gli elementi di un altro insieme. Più esplicitamente, dati due insiemi A e B, l'insieme differenza A-B è per definizione l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B.

Ci accingiamo a studiare la quarta operazione tra insiemi: la differenza insiemistica. Proprio come accade nel caso dei numeri, per i quali è definita un'operazione di sottrazione, anche nel caso degli insiemi è possibile calcolare la sottrazione tra due insiemi, o meglio la loro differenza.

Partiamo dunque dalla definizione, dopodiché passiamo ad alcuni esempi, alla rappresentazione della differenza tra insiemi mediante diagrammi di Venn e infine alle proprietà di tale operazione.

Definizione di differenza tra insiemi

La differenza tra due insiemi A,B ⊆ E contenuti in un insieme universo E è per definizione l'operazione che sottrae agli elementi del primo insieme A gli elementi del secondo insieme B.

Il simbolo della differenza insiemistica è il segno meno -, o in alternativa la barra discendente \, così che l'insieme differenza tra A e B si indica in modo equivalente come

A−B ; A backslash B

Se volessimo descrivere la differenza insiemistica mediante simboli, potremmo scrivere:

A−B: = {x∈ E | x∈ A ∧ x ∉ B}

In sintesi:

- la scrittura A−B indica l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B;

- calcolare la differenza insiemistica tra un insieme A e un insieme B equivale a prendere A e a eliminare da esso gli elementi di B che stanno in A. Gli elementi di B che non appartengono ad A non hanno quindi alcun effetto sulla differenza A−B.

Non è difficile capire che la differenza insiemistica può essere definita anche mediante le nozioni di insieme complementare e di intersezione:

A−B = A ∩ B^C

Prima di proseguire e di vedere qualche esempio, una precisazione riguardo ai nomi. Nel contesto dei numeri il termine sottrazione si riferisce all'operazione, mentre il termine differenza indica il risultato dell'operazione di sottrazione; nel caso degli insiemi, invece, viene usato lo stesso termine sia per indicare l'operazione insiemistica, sia per l'insieme che è il risultato dell'operazione. A ben vedere questo è ciò che accade anche per tutte le altre operazioni insiemistiche.

Esempi di differenze tra insiemi

1) Consideriamo l'insieme E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} e i seguenti suoi sottoinsiemi:

A = {1,3,5,7} ; B = {1,3,8,9}

Le differenze tra il primo insieme e il secondo e tra il secondo e il primo sono date da:

A−B = {1,3,5,7}−{1,3,8,9} = {5,7} ; B−A = {1,3,8,9}−{1,3,5,7} = {8,9}

Come si può notare la differenza insiemistica non è commutativa, e dunque l'ordine degli insiemi nella differenza è fondamentale.

2) Sia E = N l'insieme dei numeri naturali e sia P ⊆ E l'insieme dei numeri pari:

P = {0,2,4,6,8,10,...}

La differenza tra l'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri pari è data dall'insieme dei numeri dispari:

N−P = D = {1,3,5,7,9,11,...}

Al contrario, la differenza tra l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri naturali è uguale all'insieme vuoto

P−N = Ø

infatti l'insieme dei numeri pari è contenuto in quello dei numeri naturali.

3) (Esempio per chi è almeno in quinta superiore!) Consideriamo gli intervalli reali 

[0,1) ; [2,5] ; (3,4] ; [5,6]

Abbiamo, ad esempio:

[0,1)−[2,5] = [0,1) ; [2,5]−(3,4] = [2,3] U (4,5] ; [5,6]−[2,5] = (5,6]

Differenza insiemistica con i diagrammi di Eulero Venn

Con riferimento ai diagrammi di Eulero Venn, di cui abbiamo parlato nella lezione introduttiva (Cos'è un insieme), la differenza A−B tra due insiemi A,B ⊆ E si ottiene eliminando gli elementi dell'insieme B dall'insieme A.

Nel caso di insiemi con intersezione non vuota:

Differenza tra insiemi con i diagrammi di Venn

Diagramma di Venn della differenza insiemistica tra insiemi con intersezione non vuota.

Se invece considerassimo due insiemi disgiunti, cioè con intersezione vuota:

Diagramma di Venn per la differenza tra insiemi disgiunti

Diagramma di Venn della differenza tra due insiemi disgiunti.

In una delle lezioni successive tratteremo in dettaglio i diagrammi di Eulero Venn, fornendo una panoramica relativa a tutte le operazioni insiemistiche.

Proprietà della differenza insiemistica

Concludiamo la lezione con l'elenco delle proprietà della differenza insiemistica, con un occhio di riguardo al legame tra tale operazione e le operazioni insiemistiche a noi già note.

1) Differenza tra insiemi e insieme vuoto

La differenza tra un insieme e l'insieme vuoto è uguale all'insieme stesso; viceversa, la differenza tra l'insieme vuoto e un qualsiasi altro insieme è uguale all'insieme vuoto.

A−Ø = A ; Ø−A = Ø

2) Differenza tra insieme e un suo sovrainsieme

La differenza tra un insieme e un suo sovrainsieme è uguale all'insieme vuoto. Più esplicitamente, dati due insiemi A,B ⊆ E con A ⊆ B, risulta che

A−B = Ø

3) Differenza tra insiemi con insieme universo

La differenza tra un insieme e un suo qualsiasi insieme universo è uguale all'insieme vuoto. In simboli, dato A ⊆ E, risulta che

A−E = Ø

Questa proprietà in realtà è una semplice applicazione della 2).

Viceversa, la differenza tra un insieme universo E e un suo sottoinsieme A ⊆ E è il complementare del sottoinsieme:

E−A = A^C

4) Differenza tra un insieme e se stesso

La differenza tra un qualsiasi insieme e se stesso è uguale all'insieme vuoto. Per qualsiasi insieme A ⊆ E risulta che

A−A = Ø

5) Differenza tra insiemi disgiunti

La differenza tra due insiemi disgiunti è uguale al primo insieme della differenza. Se due insiemi A,B ⊆ E hanno intersezione vuota, e dunque A ∩ B = Ø, allora risulta che

A−B = A ; B−A = B

6) Non commutatività della differenza tra insiemi

La differenza insiemistica non è in generale un'operazione commutativa. In altri termini l'ordine con cui compaiono gli insiemi nella differenza è rilevante.

7) Insieme differenza come sottoinsieme del primo insieme

La differenza tra due insiemi è un sottoinsieme del primo insieme. Comunque si considerano A,B ⊆ E, risulta che

A−B ⊆ A ; B−A ⊆ B

10) Differenza tra insiemi e complementare

La differenza tra due insiemi può essere definita come intersezione tra il primo insieme e il complementare del secondo insieme. Dati A,B ⊆ E, risulta che

A−B = A ∩ B^C ; B−A = B ∩ A^C 

Abbiamo visto tutto quello che c'è da sapere sulla differenza tra insiemi. Nella successiva ci occuperemo di un'ulteriore operazione, la differenza simmetrica. :)

In caso di dubbi o domande, non esitate: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante lezioni. ;)

Vale, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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