Differenza tra insiemi
La differenza tra insiemi, indicata con il simbolo - o con il simbolo \, è un'operazione insiemistica che permette di escludere da un insieme gli elementi di un altro insieme. Più esplicitamente, dati due insiemi A e B, l'insieme differenza A-B è per definizione l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B.
Ci accingiamo a studiare la quarta operazione tra insiemi: la differenza insiemistica. Proprio come accade nel caso dei numeri, per i quali è definita un'operazione di sottrazione, anche nel caso degli insiemi è possibile calcolare la sottrazione tra due insiemi, o meglio la loro differenza.
Partiamo dunque dalla definizione, dopodiché passiamo ad alcuni esempi, alla rappresentazione della differenza tra insiemi mediante diagrammi di Venn e infine alle proprietà di tale operazione.
Definizione di differenza tra insiemi
La differenza tra due insiemi contenuti in un insieme universo è per definizione l'operazione che sottrae agli elementi del primo insieme gli elementi del secondo insieme .
Il simbolo della differenza insiemistica è il segno meno -, o in alternativa la barra discendente \, così che l'insieme differenza tra e si indica in modo equivalente come
Se volessimo descrivere la differenza insiemistica mediante simboli, potremmo scrivere:
In sintesi:
- la scrittura indica l'insieme degli elementi di che non appartengono a ;
- calcolare la differenza insiemistica tra un insieme e un insieme equivale a prendere e a eliminare da esso gli elementi di che stanno in . Gli elementi di che non appartengono ad non hanno quindi alcun effetto sulla differenza .
Non è difficile capire che la differenza insiemistica può essere definita anche mediante le nozioni di insieme complementare e di intersezione:
Prima di proseguire e di vedere qualche esempio, una precisazione riguardo ai nomi. Nel contesto dei numeri il termine sottrazione si riferisce all'operazione, mentre il termine differenza indica il risultato dell'operazione di sottrazione; nel caso degli insiemi, invece, viene usato lo stesso termine sia per indicare l'operazione insiemistica, sia per l'insieme che è il risultato dell'operazione. A ben vedere questo è ciò che accade anche per tutte le altre operazioni insiemistiche.
Esempi di differenze tra insiemi
1) Consideriamo l'insieme e i seguenti suoi sottoinsiemi:
Le differenze tra il primo insieme e il secondo e tra il secondo e il primo sono date da:
Come si può notare la differenza insiemistica non è commutativa, e dunque l'ordine degli insiemi nella differenza è fondamentale.
2) Sia l'insieme dei numeri naturali e sia l'insieme dei numeri pari:
La differenza tra l'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri pari è data dall'insieme dei numeri dispari:
Al contrario, la differenza tra l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri naturali è uguale all'insieme vuoto
infatti l'insieme dei numeri pari è contenuto in quello dei numeri naturali.
3) (Esempio per chi è almeno in quinta superiore!) Consideriamo gli intervalli reali
Abbiamo, ad esempio:
Differenza insiemistica con i diagrammi di Eulero Venn
Con riferimento ai diagrammi di Eulero Venn, di cui abbiamo parlato nella lezione introduttiva (Cos'è un insieme), la differenza tra due insiemi si ottiene eliminando gli elementi dell'insieme dall'insieme .
Nel caso di insiemi con intersezione non vuota:
Diagramma di Venn della differenza insiemistica tra insiemi con intersezione non vuota.
Se invece considerassimo due insiemi disgiunti, cioè con intersezione vuota:
Diagramma di Venn della differenza tra due insiemi disgiunti.
In una delle lezioni successive tratteremo in dettaglio i diagrammi di Eulero Venn, fornendo una panoramica relativa a tutte le operazioni insiemistiche.
Proprietà della differenza insiemistica
Concludiamo la lezione con l'elenco delle proprietà della differenza insiemistica, con un occhio di riguardo al legame tra tale operazione e le operazioni insiemistiche a noi già note.
1) Differenza tra insiemi e insieme vuoto
La differenza tra un insieme e l'insieme vuoto è uguale all'insieme stesso; viceversa, la differenza tra l'insieme vuoto e un qualsiasi altro insieme è uguale all'insieme vuoto.
2) Differenza tra insieme e un suo sovrainsieme
La differenza tra un insieme e un suo sovrainsieme è uguale all'insieme vuoto. Più esplicitamente, dati due insiemi con , risulta che
3) Differenza tra insiemi con insieme universo
La differenza tra un insieme e un suo qualsiasi insieme universo è uguale all'insieme vuoto. In simboli, dato , risulta che
Questa proprietà in realtà è una semplice applicazione della 2).
Viceversa, la differenza tra un insieme universo e un suo sottoinsieme è il complementare del sottoinsieme:
4) Differenza tra un insieme e se stesso
La differenza tra un qualsiasi insieme e se stesso è uguale all'insieme vuoto. Per qualsiasi insieme risulta che
5) Differenza tra insiemi disgiunti
La differenza tra due insiemi disgiunti è uguale al primo insieme della differenza. Se due insiemi hanno intersezione vuota, e dunque , allora risulta che
6) Non commutatività della differenza tra insiemi
La differenza insiemistica non è in generale un'operazione commutativa. In altri termini l'ordine con cui compaiono gli insiemi nella differenza è rilevante.
7) Insieme differenza come sottoinsieme del primo insieme
La differenza tra due insiemi è un sottoinsieme del primo insieme. Comunque si considerano , risulta che
10) Differenza tra insiemi e complementare
La differenza tra due insiemi può essere definita come intersezione tra il primo insieme e il complementare del secondo insieme. Dati , risulta che
Abbiamo visto tutto quello che c'è da sapere sulla differenza tra insiemi. Nella successiva ci occuperemo di un'ulteriore operazione, la differenza simmetrica. :)
In caso di dubbi o domande, non esitate: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante lezioni. ;)
Vale, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
Tags: come si calcola la differenza tra due insiemi - che cos'è la differenza insiemistica.
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