(Fac-simile frontespizio tesi di laurea specialistica) - Scor

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE 

FACOLTA’ DI ECONOMIA 

CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN 

SCIENZE ATTUARIALI 

TESI DI LAUREA SPECIALISTICA IN 

TECNICA ATTUARIALE DELLE ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI 

TITOLO DELLA TESI 

METODOLOGIE DI PRICING 

PER LE RIASSICURAZIONI NON PROPORZIONALI: 

Relatore: Chiar.mo Prof. 

Fabio Grasso 

IL MODELLO DI PARETO 

A.A. 2005/2006 

Tesi di laurea di: 

Davide Canestraro

ai miei Genitori, 

al loro Amore, 

cui semplicemente 

devo tutto 

Davide 

2

SOMMARIO 

PREMESSA 5 

INTRODUZIONE 6 

1. CENNI STORICI SULLA RIASSICURAZIONE 8 

1.1 LA NASCITA DEI RIASSICURATORI PROFESSIONALI 12 

2. LA RIASSICURAZIONE: ASPETTI GENERALI 14 

2.1 DEFINIZIONE E SCOPI PRINCIPALI 14 

2.2 CONFRONTO CON LA COASSICURAZIONE 17 

2.3 FORME CONTRATTUALI 19 

2.4 TIPOLOGIE DI RIASSICURAZIONE 22 

3. RIASSICURAZIONI PROPORZIONALI 25 

3.1 QUOTA SHARE 25 

3.2 SURPLUS 29 

4. RIASSICURAZIONI NON-PROPORZIONALI 35 

4.1 RIASSICURAZIONI EXCESS OF LOSS 35 

4.1.1 RIASSICURAZIONE PER RISK XL 36 

4.1.2 RIASSICURAZIONE PER EVENT XL E CATASTROPHE XL 38 

4.1.3 RIASSICURAZIONE AGGREGATE XL 47 

4.2 RIASSICURAZIONE STOP-LOSS 48 

4.3 CONDIZIONI CONTRATTUALI 51 

4.4 RIASSICURAZIONE E.CO.MO.R. 62 

5. IL PREMIO 65 

5.1 SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 65 

5.2 METODI DI CALCOLO DEL PREMIO DI RISCHIO 67 

6. IL MODELLO DI PARETO 71 

6.1 DEFINIZIONE E COSTRUZIONE DEL MODELLO 71 

6.2 STIMA DELLA FREQUENZA DI SINISTROSITÀ DEL PORTAFOGLIO 79 

6.3 STIMA DEL VALORE ATTESO DEL SINISTRO 81 

6.4 STIMA DEL PREMIO DI RISCHIO 85 

6.5 ESTRAPOLAZIONE DEL PREMIO DI RISCHIO PER ULTERIORI LAYERS 86 

3

7. CONCLUSIONI 89 

APPENDICE 1: PROCEDURA MAPLE 90 

APPENDICE 2: ALCUNE CIFRE 100 

BIBLIOGRAFIA 104 

GLOSSARIO 106 

ELENCO DELLE FIGURE 109 

4

Premessa 

Un “infinito ed infinibile” ringraziamento va ai miei Genitori, a cui dedico questo 

traguardo, quelli passati e quelli futuri. 

Sento inoltre il dovere di dire grazie a tutte le persone che hanno avuto ed hanno 

fiducia in me, ai docenti che mi hanno incoraggiato lungo tutto il percorso fin qui 

compiuto ed ai membri del Dipartimento di Matematica per le Decisioni 

dell’Università degli Studi di Firenze, in particolare nella persona del Professor 

Augusto Bellieri dei Belliera, anche in qualità di correlatore della presente tesi. 

Last but not least un sincero grazie al chiarissimo relatore Professor Fabio Grasso, 

che più volte mi ha aiutato ad indirizzare i miei studi e che mi ha guidato in questo 

lavoro. 

5

Introduzione 

Scopo principale di questa trattazione è quello di presentare uno degli aspetti 

usualmente meno noti del settore assicurativo: i rapporti di riassicurazione. In 

particolare, ci occuperemo di descrivere, nell’ambito delle riassicurazioni non 

proporzionali per i rami danni, le principali metodologie di pricing applicate nella 

prassi dei rapporti tra assicuratore e riassicuratore, quindi concluderemo presentando 

nei dettagli il modello di Pareto, obiettivo finale della nostra analisi e metodo in grado 

di coniugare flessibilità d’impiego e semplicità di lettura. 

Per realizzare quanto detto, il presente lavoro è stato articolato nel modo seguente: 

Nel capitolo 1 è riassunta la storia dei contratti riassicurativi, che vede dapprima il 

nascere di accordi aventi uno scopo pressoché speculativo e successivamente, con 

l’evolversi dei rapporti contrattuali in forme più stabili e strutturate, la nascita e lo 

sviluppo della figura del riassicuratore professionale. 

Il capitolo 2 è dedicato alla presentazione degli aspetti generali di tutte le forme di 

riassicurazione, che costituiscono il mezzo principale con cui una società di 

assicurazione, che ha come attività precipua l’assunzione dei rischi da soggetti 

tipicamente avversi, soddisfa a sua volta la necessità di ricevere una copertura per 

fronteggiare parte dell’esposizione accumulata, contro il pagamento di un premio 

di riassicurazione. Saranno qui definite a grandi linee anche le diverse tipologie 

contrattuali con cui è possibile attuare questa copertura, tipologie che verranno 

singolarmente trattate in dettaglio nei capitoli successivi. 

E’ con il capitolo 3 che sono analizzate le due principali forme di riassicurazione 

di tipo proporzionale, il quota share ed il surplus. Oltre alla descrizione iniziale 

ed alla successiva schematizzazione matematica è proposto anche un esempio 

concreto per entrambe le tipologie presentate. 

Con il capitolo 4 introduciamo i protagonisti della nostra analisi, i contratti 

riassicurativi di tipo non proporzionale, attraverso una scissione in due grandi 

categorie: excess of loss e stop loss. Dopo aver caratterizzato e discusso ciascuna 

tipologia, alcune esemplificazioni consentono di visualizzare meglio, anche con 

6

l’impiego di grafici, le differenze, da un punto di vista operativo, tra le modalità 

interessate. Il capitolo si conclude con l’esposizione delle principali condizioni 

contrattuali, che possono incidere anche in maniera rilevante sulla cessione dei 

rischi, e con l’illustrazione di una particolare forma di copertura, l’E.CO.MO.R., 

che presenta caratteristiche del tutto innovative rispetto alle altre forme. 

Il capitolo 5 ci consente di entrare nel vivo della trattazione, in quanto è qui che 

vengono introdotte, dopo una sintetica scomposizione del premio, le metodologie 

di pricing che ci permettono di calcolare il premio di rischio per un trattato di 

riassicurazione non proporzionale. 

Nel capitolo 6 mostreremo in dettaglio come sia possibile, tramite un modello 

matematico, il modello di Pareto nel nostro caso, effettuare il pricing di una 

copertura excess of loss. La schematizzazione matematica procederà di pari passo 

con un’esemplificazione guida che ci permetterà di assistere all’intero processo di 

stima del premio, a partire da alcuni dati di sinistrosità e procedendo per steps 

successivi fino alla valutazione della stima del premio di rischio. Sarà infine 

proposta un’estensione utilizzata nella prassi per effettuare il pricing di contratti 

per cui è noto il premio relativamente ad un’altra fascia di copertura. 

Infine, le conclusioni circa il lavoro svolto sono tratte nel capitolo 7. 

Nella parte finale della presente trattazione sono state inoltre inserite due appendici, 

la prima dei quali illustra alcune implementazioni, in ambiente Maple, di procedure 

per il calcolo delle quantità descritte nel capitolo sesto, procedure che consentono, 

attraverso la semplice modifica dei dati di inputs, di stimare immediatamente il 

premio per il rischio secondo il metodo di Pareto; la seconda appendice riguarda 

invece la situazione del mercato riassicurativo alla data di svolgimento del presente 

lavoro, presentata attraverso alcune recenti rilevazioni. 

La trattazione si chiude con una sintetica bibliografia, dove è citato il materiale 

adottato o comunque di utile esame per chiarimenti e approfondimenti sulle tematiche 

qui trattate, che precede un glossario di pratica consultazione, per i principali termini 

tecnici impiegati in queste pagine, ed un comodo indice numerato delle figure. 

7

1. Cenni storici sulla riassicurazione 

Le origini storiche dei contratti di riassicurazione si desumono da fonti frammentarie 

che determinano un’incertezza sulle date; ciò che è certo invece è che i commercianti 

ed assicuratori che per primi, come vedremo, fecero ricorso alla riassicurazione, non 

disponevano delle moderne conoscenze attuariali 1 ma si ispirarono al buon senso, 

seppur affidandosi principalmente al loro istinto. 

Senza dubbio possiamo affermare che nel XIV secolo la pratica della riassicurazione 

era già diffusa nelle repubbliche marinare italiane, in quanto alcuni documenti 

dell’epoca, tra cui un’Ordinanza di Pisa, testimoniano un caso di riassicurazione 

marittima secondo cui nel 1370 un commerciante, assicuratore d’occasione, dopo 

aver assicurato un carico da Genova a Sluys nelle Fiandre, ricorse alla riassicurazione 

per il tratto del viaggio che da Cadice portava a Slyus. 

Una stessa origine dunque accomuna assicurazione e riassicurazione: entrambe 

nascono come strumenti a cui fare ricorso nel commercio marittimo, sebbene 

l’assicurazione marittima preceda di molto la riassicurazione, considerando che i suoi 

albori si fanno risalire a prima del cristianesimo. 

E’ la preoccupazione circa l’esito dell’affare, intervenuta dopo la conclusione del 

contratto di assicurazione, il movente della riassicurazione nei suoi primordi. Questa 

conclusione si può trarre osservando un documento pubblicato nel 1671, il “Guidon 

de la Mer” 2 , che individua il “pentimento e la paura” come motivi legittimi per 

contrarre una riassicurazione. 

Le indicazioni contenute in detto documento furono successivamente codificate dal 

sovrano francese Luigi XIV, noto anche come il Re Sole, nell’“Ordinance de la 

Marine” del 1681, che contiene, in nuce, i principi cardine in ambito legislativo della 

moderna assicurazione trasporti. 

1 

Basti pensare che la legge dei grandi numeri fu formulata per la prima volta da Jakob Bernoulli 

intorno al 1700. 

2 

Una “Guida del Mare” contenente regole ed usanze relative alla navigazione e all’assicurazione 

marittima, presumibilmente redatta da un Comitato di mercanti di Rouen. 

8

Le notizie relative all’evoluzione storica scarseggiano fino alla fine del 1700. Di 

questo periodo iniziale sappiamo unicamente che la pratica riassicurativa era relativa 

a singoli casi ed era esercitata da commercianti o da banchieri nei confronti di altri 

commercianti o banchieri che avevano coperto rischi marittimi e che successivamente 

ritenevano la loro esposizione troppo gravosa. 

Negli anni fra il 1300 ed il 1700 il centro dell’attività assicurativa in generale si 

spostò dalle repubbliche marinare italiane a Londra, fenomeno questo legato 

soprattutto all’immigrazione di negozianti italiani, i “Lombardi”. 

A Londra la storia dell’attività di copertura dei rischi è strettamente legata alle 

vicende di un istituto, destinato a diventare famoso in tutto il mondo, cui diede 

origine un caffettiere, Edward Lloyd, il quale, intorno al 1670 aprì nella città una 

bottega che divenne da subito punto di ritrovo di gente di mare e quindi di raccolta e 

poi diffusione di notizie di carattere mercantile. Fu intorno a questo centro che si 

sviluppò un vero e proprio mercato di assicurazione marittima, sebbene, come 

accennato all’inizio di questa nostra introduzione storica, la riassicurazione ma anche 

l’assicurazione dell’epoca, praticate da singoli individui del tutto privi delle basi 

tecniche e di rilevazioni statistiche, costituisse più una sorta di scommessa che il 

contratto cui siamo abituati a pensare oggi. 

9

Figura 1 - L'antica sala delle sottoscrizioni 

Questo carattere speculativo che contraddistinse queste forme assicurative comportò 

che oltre ai cosiddetti “sottoscrittori” seri e affidabili, molti individui con intenzioni 

fraudolente dessero vita a pratiche prive di effettivo valore. 

E’ in questo contesto che va letta e trova giustificazione la famosa legge promulgata 

nel 1745 dal Re Giorgio II d’Inghilterra, la quale, volendo porre fine a questa 

tendenza, sempre più diffusa, dichiarò illegali certe assicurazioni marittime 3 e 

interdisse la riassicurazione salvo in caso di morte, di insolvenza o di bancarotta 

dell’assicuratore originale. 

Questa proibizione circa la riassicurazione marittima restò in vigore in Inghilterra per 

oltre un secolo e fu revocata solo nel 1864. 

Nel frattempo sorsero in Europa ed in America, a partire dalle prime decadi del XVIII 

secolo, le prime compagnie di assicurazione, che vennero a sostituirsi ai mercanti ed 

ai banchieri che fino ad allora, con quello spirito d’avventura cui si accennava prima, 

avevano praticato l’assicurazione. Occorre attendere quasi un altro secolo affinché si 

3 

Si fa riferimento alle polizze indipendenti dalla prova di esistenza di un interesse assicurabile, le 

cosiddette “policy proof of interest”. 

10

possa assistere all’implementazione, in via sistematica, della riassicurazione in queste 

imprese di solida struttura. 

Fra il 1820 ed il 1830 compare quello che per lungo tempo sarà il solo metodo di 

riassicurazione in uso, vale a dire la forma facoltativa, che vedeva coinvolte sul 

continente europeo compagnie di assicurazione che, in merito al ramo incendi, si 

offrivano reciprocamente una parte dei rischi reputati oltre la loro capacità di 

conservazione. Queste convenzioni avevano un preciso fondamento tecnico: le ancor 

giovani compagnie non potevano vantare portafogli di entità tali da soddisfare a pieno 

la legge dei grandi numeri, cosicché il loro equilibrio poteva risultare più saldo in 

conseguenza al cumulo di nuovi affari non correlati con i rischi assunti in proprio. 

All’intenso sviluppo economico cominciato alla fine del XVIII secolo e proseguito 

con crescente intensità dal XIX secolo, che ha comportato lo sviluppo dell’industria, 

del commercio, la trasformazione delle tecnologie e la diffusione di nuovi beni, ha 

fatto seguito una crescente domanda di assicurazione ed un aumento delle stesse 

somme assicurate. Questo processo a sua volta ha determinato una maggiore 

necessità, da parte dell’assicuratore, di richiedere il concorso del riassicuratore non 

più in isolate circostanze eccezionali ma come strumento regolare, parte integrante 

del proprio business. 

Tali necessità non erano più soddisfatte a pieno dalla forma facoltativa, fino ad allora 

predominante, poiché richiedeva, naturalmente, la continua definizione degli atti 

amministrativi con il conseguente ritardo nella stipula del contratto. 

Nasce quindi un nuovo strumento, capace di far fronte alle esigenze moderne: il 

trattato di riassicurazione; con questo congegno l’assicuratore resta coperto per la 

parte stabilita nel trattato di tutte le assicurazioni, rientranti in determinate 

caratteristiche, da lui accettate. 

Un esempio storico di trattato di riassicurazione può essere individuato nel contratto 

datato 1821 concluso tra la “Compagnia Royale” di Parigi e la compagnia belga “Les 

Propriétaires Réunis”. Mentre la forma facoltativa cedeva sempre maggiori spazi alla 

nascente forma del trattato, una nuova preoccupazione turbava le compagnie di 

assicurazione dell’epoca che ricorrevano a questo strumento; i trattati del periodo 

11

comportavano, a differenza di quelli odierni, tutta una serie di obblighi concernenti la 

registrazione dei rischi ceduti, che venivano trasferiti, con la necessaria dovizia di 

dettagli, al riassicuratore. Questa pratica ingenerava dubbi circa possibili azioni 

concorrenziali che la rivelazione dell’identità della propria clientela poteva provocare. 

Inizialmente a questa preoccupazione si fece fronte ricorrendo, in via preferenziale, a 

compagnie di assicurazione estere, verso le quali la collocazione dei rischi e quindi 

delle relative informazioni appariva meno esposta al rischio di un utilizzo a scopo 

concorrenziale; inoltre i trattati erano generalmente reciproci, sempre per tutelarsi dal 

suddetto rischio. 

1.1 La nascita dei riassicuratori professionali 

Nonostante l’adozione di queste precauzioni, le compagnie cedenti continuarono a 

temere manomissioni del proprio portafoglio derivanti dal trasferimento dei cosiddetti 

elenchi di riassicurazione. E’ da ricercare in questo contesto la spinta evolutiva che 

portò, verso la metà dell’Ottocento, alla creazione di apposite società di 

riassicurazione, non più legate ad un’unica, specifica compagnia di assicurazione, 

capaci di prestare il proprio servizio senza destare il genere di preoccupazioni 

derivanti da una possibile concorrenza, in quanto tali società gestivano 

esclusivamente affari indiretti. 

Un ulteriore impulso alla nascita dei riassicuratori professionali fu dato dall’incendio 

che colpì la città tedesca di Amburgo nel 1842, provocando danni per 18 milioni di 

marchi tedeschi, quando il fondo locale per il rischio d’incendi disponeva di una 

riserva di appena 500.000 marchi tedeschi. Questo episodio pose chiaramente in luce 

la necessità di distribuire tra più entità, capaci di coprire con le proprie riserve 

eventuali danni, i rischi derivanti dai portafogli da loro assunti. 

Nasce così la prima compagnia di riassicurazione, la “Cologne Reinsurance 

Company” 4 , fondata nel 1846 ed ancora oggi forte società sul mercato. 

4 La denominazione originale era “Koelnische Rueckversicherungs-Geselleschaft”. 

12

Successivamente sorsero altre società di riassicurazione, a cominciare dalle tedesche 

“Aachen Re”, fondata nel 1853, e “Frankfurt Re” nata nel 1857; fu poi la volta della 

Svizzera, nella quale nel 1863, a Zurigo, prese vita la “Swiss Reinsurance Company”, 

una delle più importanti compagnie di riassicurazione del mondo che, agli inizi del 

XXI secolo, si colloca fra le prime tre società di riassicurazione professionale per 

volume dei premi netti. 

Ad oggi, il mercato della cessione dei rischi è conteso tra compagnie di assicurazione, 

che hanno intensificato la loro capacità riassicurativa, riassicuratori professionali, 

conteggiati da Standard and Poor’s in oltre 200 società nel mondo, ed i Lloyds di 

Londra. 

Figura 2 - Edificio dei Lloyd's e la torre ovale della Swiss Re a Londra 

13

2. La riassicurazione: aspetti generali 

2.1 Definizione e scopi principali 

Occorre anzitutto fornire una definizione, che andremo ad arricchire nel seguito, di 

cosa si intende per riassicurazione: utilizzeremo questo termine per indicare un 

rapporto di tipo contrattuale il cui oggetto è il trasferimento, verso il pagamento di un 

premio, di parte dei rischi assunti da un assicuratore diretto 5 , il soggetto cedente, ad 

un secondo soggetto, detto cessionario, che può essere un altro assicuratore che 

svolge anche lavoro indiretto oppure un riassicuratore professionale. 

Tale definizione pone in luce una peculiarità di questo tipo di contratto, vale a dire 

che la riassicurazione non può configurarsi di per sé sola, ma sussiste in forza di un 

altro, precedente contratto, cioè il rapporto intervenuto tra assicurato e assicuratore. 

Volendo schematizzare oltremisura, potremmo dire che la riassicurazione altro non è 

che “l’assicurazione degli assicuratori”. 

Lo stesso meccanismo che provoca il ricorso, da parte dei soggetti detentori di rischi, 

a forme di copertura assicurativa, vale a dire il bisogno, dettato dalla propria 

avversione al rischio, di trasferire parte dell’aleatorietà insita negli eventi ad un 

soggetto terzo che in cambio del pagamento di un premio per il rischio assunto offre 

la copertura richiesta, è alla base anche del rapporto riassicurativo. 

Ulteriori e precipui motivi che danno vita al bisogno di riassicurarsi possono essere 

individuati nella specificità dell’attività assicurativa e nella legislazione che la regola. 

In particolare, primo obiettivo che la riassicurazione è chiamata a raggiungere è la 

protezione della solvibilità della compagnia cedente, obiettivo noto sotto il nome di 

balance sheet protection. Teoricamente è infatti possibile mostrare come, sotto 

5 La copertura dei rischi provenienti direttamente dagli assicurati è usualmente detta lavoro diretto, in 

contrapposizione con quello indiretto che ha per oggetto rischi non derivanti dalle acquisizioni dirette 

dagli assicurati. 

14

opportune ipotesi, un determinato programma di riassicurazione sia in grado di 

minimizzare la probabilità di rovina a cui è esposto l’assicuratore. 

Questo tipo di protezione è fornita ad esempio dalle coperture riassicurative contro i 

danni catastrofali, che, come vedremo in dettaglio nel seguito, forniscono elevati 

limiti di copertura contro il rischio di un accumulo di sinistri da una collettività di 

contratti tutti esposti allo stesso evento. 

Un ulteriore beneficio che l’assicuratore può trarre dalla riassicurazione è legato, 

come accennavamo in precedenza, alla legislazione operante ad esempio in Europa e 

nel Regno Unito. Le leggi ivi vigenti impongono infatti un requisito circa il minimo 

margine di solvibilità che la compagnia di assicurazione deve disporre in proporzione 

al volume di affari che intende sottoscrivere (all’aumentare del volume degli affari 

deve crescere anche l’ammontare delle attività libere da impegni che possono 

concorrere a formare il margine di solvibilità), ma prevedono anche la possibilità di 

ridurre questo requisito che vincola le disponibilità finanziarie delle compagnie, se 

queste ultime ricorrono alla riassicurazione. Questa concessione però è chiaramente 

limitata, basti pensare al caso dell’Italia, dove, attraverso il recepimento della 

normativa europea 6 attuato con l’emanazione del decreto legislativo del 3 Novembre 

2003, n.307, il legislatore ha stabilito che la riassicurazione non può ridurre di oltre il 

15% l’esigenza di margine di solvibilità calcolata sulle riserve matematiche relative al 

ramo assicurativo del settore vita oggetto della riassicurazione, mentre è invece pari 

al 50% il limite per quanto riguarda i capitali sotto rischio; per le assicurazioni 

operanti nei rami danni invece, sempre il 50% è il valore massimo consentito sia per 

il rapporto “sinistri conservati su sinistri complessivi”, che permette la riduzione del 

minimo margine di solvibilità qualora questo sia calcolato in funzione dell’onere 

medio dei sinistri, sia per il rapporto “sinistri pagati ed a riserva che restano a carico 

dell’assicuratore su sinistri lordi complessivi”, con cui è ridotto il requisito del 

minimo margine di solvibilità qualora il corrispondente calcolo sia operato in 

funzione dell’ammontare annuo dei premi. 

6 Il riferimento è alle direttive 2002/12/CE e 2002/13/CE concernenti il margine di solvibilità delle 

imprese di assicurazione, rispettivamente, sulla vita e nei rami diversi dall'assicurazione sulla vita (cioè 

i rami danni). 

15

Occorre poi considerare che attraverso il ricorso alla riassicurazione una compagnia 

riesce ad incrementare la sua capacità di assunzione dei rischi, sia in termini di un 

maggior numero di rischi coperti, sia in termini dell’accettazione di rischi di 

maggiore entità. Questa incrementata capacità di partecipazione in affari 

precedentemente fuori portata, fa guadagnare la compagnia anche sotto l’aspetto del 

prestigio sui mercati in cui opera, consentendole così di spuntare migliori condizioni 

al momento della stipula delle condizioni dei futuri contratti. 

Sempre in quest’ottica e continuando l’esposizione dei vantaggi che la riassicurazione 

porta dal punto di vista del soggetto cedente, una compagnia quotata può avere 

interesse acciocché il suo risultato d’esercizio appaia di anno in anno in linea con il 

flusso formato dai risultati degli anni precedenti, in quanto improvvisi, negativi 

scostamenti possono provocare forti reazioni sul mercato azionario e dunque sugli 

stakeholders della stessa azienda. Una copertura assicurativa avente come scopo 

quello di stabilizzare tale valore può essere dunque ben vista dagli assicuratori che 

preferiscono profitti leggermente inferiori ma costanti nel medio-lungo periodo. 

Inoltre, anche le commissioni di riassicurazione che spesso sono versate dal 

riassicuratore al riassicurato, sia che si tratti di ceding commission che di profit 

commission come vedremo successivamente, apportando denaro liquido possono 

essere di grande aiuto per imprese di piccole dimensioni o per società appena sorte. 

I vantaggi della riassicurazione non sono però circoscritti unicamente a 

considerazioni di tipo prettamente economico, in quanto un ulteriore valore aggiunto 

è riferibile all’esperienza ed alle competenze tecniche che un’impresa di 

riassicurazione è in grado di apportare nelle situazioni dove la compagnia cedente si 

troverebbe altrimenti in difficoltà, ad esempio l’esperienza può essere relativa a 

regioni geografiche di nuova copertura per l’assicuratore, mentre le competenze 

tecniche delle grandi società riassicuratrici possono essere di ausilio nell’investimento 

dei capitali, nella scelta dello staff manageriale, etc. 

Per concludere quest’analisi introduttiva, pare opportuno chiarire che il processo 

riassicurativo non rappresenta necessariamente l’ultima fase del ciclo della cessione 

dei rischi, in quanto anche le imprese di riassicurazione a loro volta possono, per i 

16

motivi sopra esposti, avere interesse a trasferire parte dei rischi assunti. Questa 

necessità sfocia nel rapporto di retrocessione, anche detto riassicurazione di secondo 

livello, che vede coinvolti un riassicuratore nel ruolo di soggetto retrocedente ed un 

altro riassicuratore nel ruolo del soggetto retrocessionario 7 . 

Lo schema seguente illustra un esempio di possibile ciclo di distribuzione del rischio. 

Assicurato 

Assicuratore 

Figura 3 – Distribuzione dei rischi 

2.2 Confronto con la coassicurazione 

Riassicuratore 

Retrocessionario 

Un metodo alternativo alla riassicurazione, attraverso il quale è possibile conseguire 

una condivisione dell’esposizione al rischio, è la cosiddetta coassicurazione. 

Quest’ultima forma contrattuale prevede che l’assicuratore assuma il rischio, 

trasferitogli dall’assicurato, in compartecipazione con altri assicuratori, che prendono 

il nome di coassicuratori. Attraverso questo meccanismo si realizza un trasferimento 

del rischio su base orizzontale, nel senso che è attuato all’epoca di stipulazione del 

contratto, in contrasto con quanto accade nella riassicurazione, dove il trasferimento è 

7 Anche il retrocessionario può a sua volta retrocedere parte del rischio assunto, ricorrendo ad un 

contratto che prende ancora il nome di retrocessione. 

17

su base verticale, in quanto si concretizza mediante un successivo trasferimento a 

cascata dei rischi assunti al momento della stipula. 

Lo schema successivo propone un esempio delle due differenti tipologie di accordo. 

Assicurato 

Coassicurazione 

Assicuratore A 

Assicuratore B 

Assicuratore C 

Riassicurazione 

Assicurato 

Assicuratore D 


Figura 4 – Coassicurazione e Riassicurazione a confronto 

La differenza fondamentale tra i due contratti risiede nel tipo di rapporto che 

l’assicurato ha con il suo od i suoi assicuratori. Infatti, con riferimento allo schema, 

nel caso di un accordo di tipo coassicurativo, esiste un unico contratto che lega 

l’assicurato con gli assicuratori A,B e C, e l’assicurato è a conoscenza di questo tipo 

di rapporto, che risulta evidente dal contratto stesso. 

Nel caso della riassicurazione invece l’assicurato ha stipulato un contratto che 

coinvolge unicamente l’assicuratore, ed è quest’ultimo ad aver dato vita, 

indipendentemente dalla volontà del soggetto assicurato che generalmente non ne è a 

conoscenza, ad un successivo trasferimento dei rischi che ha coinvolto il 

riassicuratore. 

18

La differenza diventa evidente nel caso in cui si verifichi un sinistro: nella 

coassicurazione l’assicurato potrà chiedere le prestazioni previste a ciascun 

assicuratore limitatamente alla rispettiva percentuale di copertura, non essendoci una 

responsabilità in solido per eventuali insolvenze fra i vari assicuratori; nella 

riassicurazione invece l’assicurato chiederà all’assicuratore la corresponsione della 

prestazione per intero, sarà quest’ultimo che dovrà rivalersi successivamente sul 

riassicuratore, di cui dovrà in prima persona sopportare l’eventuale rischio di default. 

Infine, si segnala che i contratti stipulati dai Lloyd’s di Londra si rifanno tipicamente 

al rapporto coassicurativo, da cui il motto “each to his (or her) own”. 

2.3 Forme contrattuali 

L’accordo di riassicurazione può essere stipulato secondo una delle quattro seguenti 

modalità: 

facoltativa 

obbligatoria 

facoltativa-obbligatoria o “facob” 8 

obbligatoria-facoltativa 

Nella riassicurazione facoltativa oggetto del trasferimento è il singolo contratto, che 

di volta in volta viene selezionato per le specifiche caratteristiche dall’assicuratore. 

Sono discusse quindi per ciascun contratto le condizioni per la riassicurazione, 

sebbene il riassicuratore possa decidere di non accettare determinati rischi. 

La forma facoltativa è stata la prima modalità ad aver caratterizzato i rapporti 

riassicurativi; ad oggi però questa forma è utilizzata principalmente come prima linea 

della strategia di trasferimento ed in modo complementare alla riassicurazione 

obbligatoria, che risulta più efficiente per molte tipologie di rischi. Un assicuratore 

diretto ricorre dunque al facoltativo per due motivi: 

8 Detta anche oper-cover. 

19

• quando intende riassicurare una parte di un contratto che eccede i limiti 

previsti dalla forma obbligatoria stipulata; 

• quando ha accettato una polizza contenente dei rischi che sono esclusi dalla 

copertura offerta dalla forma obbligatoria. 

La compagnia cedente, al fine di evitare di dover cercare ogni volta operatori pronti a 

ricevere il rischio ed a farlo a condizioni ritenute accettabili, può decidere di assumere 

un impegno preventivo sulla disciplina della cessione dei rischi concordato con il 

riassicuratore. Questa modalità è detta riassicurazione obbligatoria, poiché tutti i 

contratti che rientrano nelle specifiche prestabilite nell’impegno di cui sopra, devono 

essere obbligatoriamente ceduti da parte dell’assicuratore diretto al riassicuratore che 

ha, a sua volta, l’obbligo di accettare la loro copertura. 

L’accordo tra le due parti che regola il trasferimento dei rischi prende il nome di 

trattato di riassicurazione, in particolare nella forma obbligatoria si parla di trattato 

automatico, per quanto visto sopra circa gli impegni degli operatori. 

Nel trattato di riassicurazione trovano definizione i vari aspetti della copertura, tra 

cui: 

• la data di inizio e quella di scadenza del contratto; 

• i limiti della copertura in termini di ritenzione e di portata; 

• i territori coperti dal trattato; 

• ogni esclusione dalla copertura; 

• l’importo del premio di riassicurazione; 

• gli accordi per il pagamento del premio; 

• le commissioni di riassicurazione; 

• la clausola di arbitrato; 

• etc. 

Tra gli elementi citati, pare opportuno riprenderne alcuni per chiarire brevemente il 

loro significato nel contesto riassicurativo. Con il termine ritenzione si indica la parte 

del rischio che resta a carico del soggetto cedente, mentre la portata delimita 

l’impegno del cessionario, che riguarda esclusivamente la parte dei rischi riferita agli 

importi non eccedenti tale soglia. 

20

Un chiarimento è poi dovuto circa le commissioni di riassicurazione, già citate in 

precedenza e distinte in: 

• ceding commission; 

• profit commission. 

Le ceding commission sono dovute dal cessionario al cedente in considerazione dei 

costi di acquisizione e delle provvigioni da questo sostenuti. Le profit commission 

costituiscono invece un’ulteriore indennità riconosciuta al cedente a seguito di 

risultati particolarmente positivi per il riassicuratore derivanti dal trattato. 

Nel seguito faremo riferimento alla somma algebrica delle due, riferendoci 

genericamente a commissioni di riassicurazione. 

Infine, nei trattati è usualmente inclusa una clausola volta a regolare il 

comportamento dei soggetti interessati in caso di controversie, la cosiddetta clausola 

dell’arbitrato. Questa clausola, in linea con il principio di “uberrima fides”, cioè di 

massima buona fede tra le parti contraenti, che è a base dell’intero rapporto, prevede 

che in caso di disputa questa sia risolta attraverso un collegio arbitrale composto 

solitamente da tre membri 9 scelti tra persone competenti in materia di assicurazione e 

di riassicurazione che prendono decisioni vincolanti per le parti 10 , evitando in questo 

modo il ricorso ai procedimenti giudiziari normalmente previsti dalla legge, anche 

perché così facendo le controversie non diventano di pubblico dominio e le 

informazioni restano celate all’interno delle compagnie coinvolte. 

Per quanto concerne invece le strutture negoziali miste, la forma facob riconosce 

all’assicuratore la facoltà di cedere i rischi che ritiene opportuni mentre il 

riassicuratore è obbligato ad accettare tutti i rischi offertigli dal cedente non appena 

questi rientrino nelle condizioni previste dal trattato, che anche in questo caso è la 

forma contrattuale alla base del rapporto. Come si comprende immediatamente, 

questa modalità espone il riassicuratore ad un possibile rischio di antiselezione in 

considerazione del quale praticherà premi maggiori rispetto ad un trattato automatico. 

9 

Ogni soggetto nomina un membro di parte ed i due arbitri così designati trovano l’accordo su un terzo 

arbitro. 

10 

Nel trattato è spesso specificato che tali decisioni, prese dal collegio arbitrale secondo equità, non 

potranno essere impugnate dalle parti. 

21

La modalità obbligatoria-facoltativa si presenta come speculare alla precedente, cioè 

le parti giocano a ruoli invertiti: l’assicuratore deve cedere le quote di ogni rischio 

rientrante nel trattato, mentre il riassicuratore ha facoltà di accettarne o meno la 

copertura. 

Nel seguito, se non diversamente indicato, faremo riferimento a riassicurazioni 

stipulate nella forma di trattati obbligatori. 

Precisiamo inoltre che in questo lavoro ci occuperemo delle forme di riassicurazione 

in uso per i rami danni, quindi le coperture analizzate prevedranno prestazioni 

esclusivamente di tipo risarcitorio, non rientrando nell’oggetto della trattazione le 

assicurazioni malattia. 

2.4 Tipologie di riassicurazione 

A prescindere dalle varie forme contrattuali analizzate in precedenza, possiamo 

distinguere due grandi macroclassi di rapporti riassicurativi: 

le riassicurazione proporzionali; 

le riassicurazione non-proporzionali. 

Le forme proporzionali in generale sono utilizzate per ridurre la scala 

dell’esposizione al rischio e conseguentemente quella dei risarcimenti dovuti. Infatti, 

attraverso qualsiasi categoria di riassicurazione proporzionale, l’assicuratore ed il 

riassicuratore concordano un rapporto che sarà utilizzato per ripartire sia i premi che 

gli eventuali risarcimenti; questo rapporto, come vedremo nel capitolo successivo, 

può essere lo stesso per ogni rischio coperto dal contratto oppure può variare da 

rischio a rischio. Si sottolinea invece fin da adesso che in ogni caso la quota del 

premio da cedere al riassicuratore è direttamente legata al suo impegno a pagare i 

futuri risarcimenti, secondo appunto un principio di proporzionalità. Il trattato di 

riassicurazione proporzionale è contraddistinto anche da un’ulteriore caratteristica, 

vale a dire l’assicuratore cede il rischio alle condizioni originali concordate nel 

22

contratto stipulato con l’assicurato; per questo motivo il riassicuratore è coinvolto nel 

rapporto alle stesse condizioni dell’assicuratore diretto 11 . 

Abbiamo detto che l’obiettivo principale è quello di ridurre in termini percentuali 

l’impatto del rischio, segue che la distribuzione statistica dei sinistri una volta attivata 

la copertura sarà dello stesso tipo di quella al lordo della copertura, ma con i 

parametri opportunamente ridotti in proporzione della cessione avvenuta. Per 

mostrare ciò, supponiamo che Х sia la variabile aleatoria relativa alla grandezza dei 

sinistri lordi a carico dell’assicuratore, con funzione di distribuzione (x) 

, funzione 

densità (x) 

, media μ e varianza σ 

f X 

F X 

2 

. Se l’assicurato cede una proporzione ( 1 − α ) 

dei rischi, egli trattiene un ammontare descritto dalla variabile aleatoria Υ = α Χ , così 

caratterizzata: 

• la media sarà pari a: Ε ( Υ) 

= Ε( 

α Χ) 

= αμ 

2 

• la varianza sarà data da: V ( Υ) = V ( α Χ) 

= ασ 

• per quanto riguarda la distribuzione, essendo 

Χ = Υ / α = h( 

x) 

, abbiamo che: 

= Χ = g( 

x) 

( y) 

= F ( g( 

x) 

) = F ( h( 

y) 

) 

Dunque, 

e conseguentemente, la densità: 

FΥ Υ 

Χ 

d d d 

1 

fΥ ( y) 

= FΥ 

Χ 

Χ 

dy dy dx α 

( y) 

= h( 

y) 

F ( h( 

y) 

) = f ( h( 

y) 

) 

f 

y 

Χ⎜ 

⎛ 

α ⎟ 

⎞ 

fΧ 

( x) 

fΥ 

( y) 

= ⎝ ⎠ = 

α α 

Υ α , cioè 

cioè abbiamo mostrato che Y ha le medesime funzioni di densità e di distribuzione di 

X ridotte in proporzione del parametro α. 

Le forme non-proporzionali invece producono effetti più complessi e quindi meno 

immediati da analizzare da un punto di vista statistico, in quanto attraverso queste 

tipologie di riassicurazione si attua una ripartizione dei rischi non basata su un 

rapporto predeterminato per la divisione del premio e dei risarcimenti, variando 

l’ammontare degli oneri a carico delle due parti in funzione dell’effettivo ammontare 

dei sinistri verificatisi. 

11 Si usa dire che il riassicuratore follow the fortune dell’assicuratore diretto. 

23

Il trattato in questi casi si limita a definire un limite entro il quale il cedente 

continuerà a farsi carico di tutti i risarcimenti, limite che prende il nome di 

deductible, di excess point oppure di priority (priorità); il riassicuratore è invece 

obbligato a pagare tutti i sinistri che eccedono detto ammontare, fino al 

raggiungimento di un eventuale limite di copertura che prende il nome di portata. 

Il risultato di una riassicurazione non proporzionale, dal punto di vista del 

cessionario, è equiparabile a troncare le perdite lorde ad un certo valore, il deductible, 

che può essere un valore fissato oppure un valore variabile legato a qualche indice 

predefinito 12 . 

Anche la portata, qualora sia presente, può essere espressa in termini di un valore 

fisso piuttosto che di un valore variabile. 

Entreremo ampiamente in dettaglio circa la riassicurazione non-proporzionale a 

partire dal capitolo 4, per il momento ci limitiamo ad osservare che un contratto di 

questo genere obbliga il cessionario a pagare i risarcimenti legati ai sinistri 

esclusivamente nei casi in cui questi non solo si realizzano ma superano in 

ammontare il valore indicato dal deductible. 

12 Un possibile indice è quello dei prezzi al dettaglio, misura implicita dell’inflazione. 

24

3. Riassicurazioni proporzionali 

Nella macroclasse delle riassicurazioni proporzionali si posso distinguere due 

principali forme riassicurative: 

quota share (riassicurazione in quota); 

surplus (riassicurazione per eccedente di somma). 

Normalmente sia la quota share che il surplus sono realizzati mediante la 

stipulazione di trattati, meno frequentemente sotto forma di facoltativo. 

3.1 Quota share 

La riassicurazione in quota rappresenta la più semplice forma di riassicurazione, 

anche dal punto di vista operativo e gestionale. Sotto un accordo di questo tipo, si 

assiste alla cessione sistematica di una quota prefissata di tutti i rischi sottoscritti 

dall’assicuratore diretto verso il riassicuratore non appena questi ricadano nella 

categoria o nei rami oggetto del trattato. 

Questa ripartizione è attuata mediante l’applicazione di un’unica aliquota di 

conservazione comune a tutti i contratti, detta anche aliquota di ritenzione, alla 

liability (esposizione monetaria) corrispondente a ciascun contratto. 

Nell’assicurazione incendio e più in generale nel caso di assicurazioni di danni a beni 

di proprietà, la liability può essere definita in riferimento al totale delle somme 

assicurate, sum insured o SI, oppure alla più alta perdita stimata, attraverso 

l’estimated maximum loss, EML, o il maximum possible loss, MPL 13 . 

Diversamente avviene nelle assicurazioni di responsabilità civile, dove il valore della 

liability può essere riferito unicamente al massimale di garanzia. 

13 La Association of British Insurers definisce l’EML come una stima del massimo danno che può 

ragionevolmente derivare da un singolo evento in riferimento al solo rischio principale, o target risk, 

tenendo in considerazione le misure di prevenzione. Queste ultime non sono invece computate per 

l’MPL, che risulta dunque un valore maggiore anche perché valuta non solo il rischio principale ma 

anche i rischi connessi. 

25

E’ sempre attraverso l’aliquota di conservazione, fissata per l’intero portafoglio, che 

si determina la parte dei premi e dei risarcimenti di competenza dell’assicuratore 

diretto e, di conseguenza, quelli ceduti al riassicuratore. 

Può inoltre essere previsto un ammontare limite per il trasferimento al riassicuratore, 

che si troverebbe altrimenti in una situazione nella quale non gli è più possibile 

conoscere la sua massima esposizione per i rischi riassicurati. In questo caso, i rischi 

che eccedessero la quota limite, sarebbero ceduti al riassicuratore utilizzando l’usuale 

aliquota, ridotta come dal rapporto “limite della quota: rischio originale”. Stessa 

riduzione subirebbero il trasferimento dei premi e l’onere dei risarcimenti. Ad ogni 

modo, questa possibilità rappresenta solitamente l’eccezione, non la regola. 

Per comprendere meglio le metodologie di calcolo delle rispettive competenze, 

supponiamo che oggetto del trattato sia un portafoglio di assicurazioni del tipo 

property (danni a beni di proprietà), contemporaneamente stipulati, di medesima 

durata annuale, con valori assicurati W1, W2,…, Wn. Più in generale, per questo ed i 

successivi esempi supporremo che gli n contratti siano relativi a rischi tra loro 

analoghi, sia in termini di caratteristiche del rischio che di condizioni contrattuali. 

Siano poi X1, X2,…, Xn i risarcimenti globali a carico dell’assicuratore in relazione ai 

singoli contratti. Con riferimento al j-esimo contratto avremo dunque: 

Χ 

j 

= 

N j 

∑ 

i= 

0 

dove si è indicato con Nj il numero di sinistri che colpiscono il contratto e con Yi,j il 

risarcimento dovuto in conseguenza dell’i-esimo sinistro, in ordine cronologico, 

riferito al j-esimo contratto (Y0,j:=0). 

La riassicurazione di portafoglio può essere interpretata come una n-pla di 

applicazioni: 

j 

Υ 

X → X 

che, per ciascun contratto j=1,…,n, individua il risarcimento globale conservato 

A 

dall’assicuratore, indicato appunto da X . Naturalmente avremo che 

j 

i, 

j 

A 

j 

26

X = X − X 

sarà pari al risarcimento globale ceduto al riassicuratore. 

R 

j 

Se il trattato prevede un’aliquota di ritenzione α, 0

nell’accordo secondo il quale, ad un determinato tempo, il riassicuratore deve pagare 

al cedente un ammontare a titolo di acconto circa le proprie prestazioni derivanti dal 

contratto, acconto che includerà anche un ammontare riferito ai sinistri accaduti ma 

non ancora conosciuti dall’assicuratore, i cosiddetti IBNR (incurred but not 

reported). I trattati che prevedono questa misura sono definiti clean-cut treaties. 

Esempio 

Per concludere questa sezione, riportiamo un esempio di riassicurazione 

proporzionale. Sia in questo esempio che nei successivi, se non diversamente 

indicato, gli importi sono da intendersi espressi in unità di euro. 

Aliquota di ritenzione 70% 

Quota ceduta 30% 

Somma complessivamente assicurata, o SI 20 milioni 

Esposizione conservata 14 milioni 

Esposizione del riassicuratore 6 milioni 

Tasso di premio applicato dall’assicuratore diretto: 2‰ 40.000 

Premio conservato dall’assicuratore 28.000 

Premio ceduto al riassicuratore 12.000 

Perdite complessive 12 milioni 

Risarcimenti effettivamente a carico dell’assicuratore 8,4 milioni 

Risarcimenti dovuti dal riassicuratore 3,6 milioni 

Figura 5 – Esempio di quota share 

La condivisione dei rischi sotto un trattato di riassicurazione in quota, del tipo 

illustrato in tabella, è compatibile con un grafico di questo tipo: 

28

Import 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

3.2 Surplus 

Quota Share 

Rischi 

Conservato Ceduto 

Figura 6 – Rappresentazione grafica del quota-share 

Analizziamo adesso la riassicurazione per eccedente di somma, che rappresenta una 

forma più sofisticata e complessa di riassicurazione proporzionale, in primo luogo dal 

punto di vista della gestione stessa del contratto; a tal proposito si fa immediatamente 

notare come, al contrario della quota-share, questa tipologia non preveda un’unica 

aliquota di ritenzione fissata per ogni contratto del portafoglio. La porzione di ciascun 

rischio ceduto varierà da contratto a contratto a seconda delle caratteristiche dello 

stesso e dell’effettiva sinistrosità osservata. 

Nel surplus infatti l’accordo stipulato contrattualmente riguarda la massima 

esposizione al rischio, espressa in termini monetari, che l’assicuratore accetta di 

29

mantenere per ciascun contratto sotto la propria responsabilità. Questa quantità 

monetaria prende il nome di pieno di conservazione o di retention (ritenzione). 

Possono essere definite più ritenzioni per differenti classi di rischi che sono 

contemporaneamente coperte dallo stesso trattato. 

Il riassicuratore dovrà offrire la copertura dell’ammontare che eccede la ritenzione 

stabilita per l’assicuratore, da qui il nome surplus. 

Peculiarità di questa forma proporzionale è il fatto che i rischi con una associata 

liability inferiore alla retention resteranno totalmente a carico dell’assicuratore 

diretto; si comprende quindi come questa forma sia meno gradita dai riassicuratori, 

che non hanno più il vantaggio di poter partecipare a tutti i contratti sottoscritti 

dall’assicurato. 

L’aliquota di conservazione è dunque in questa tipologia variabile per ciascun rischio 

assicurato, e resta individuata sulla base del rapporto “porzione della liability oltre la 

retention: liability complessiva”. 

Descriviamo più in dettaglio questo procedimento, riprendendo la simbologia e le 

ipotesi introdotte nel precedente paragrafo, cioè immaginiamo un portafoglio di 

assicurazioni di danni a beni di proprietà, costituito da n contratti, omogenei nel senso 

chiarito in precedenza, con valori assicurati W1, W2,…, Wn. 

Se il pieno di conservazione è fissato in misura pari a P, per ciascun contratto, per 

j=1,…,n, è possibile ricavare l’aliquota di conservazione, 0≤α≤1, come segue: 

α j 

( W ; P) 

min 

⎛ ⎞ 

j ⎜ 

P 

= = min ; 1⎟ 

W ⎜ ⎟ 

j ⎝W 

j ⎠ 

Avremo quindi un valore assicurato conservato dall’assicurato che sarà dato da: 

( W ; P) 

A 

W j = min j 

mentre il valore del surplus o eccedente, cioè il valore assicurato ceduto al 

riassicuratore è pari a: 

R 

W j 

j 

( W − ; 0) 

= max P 

Infine, è possibile anche in questo caso ricavare le espressioni del risarcimento 

globale conservato dall’assicuratore e di quello ceduto al riassicuratore, che saranno 

rispettivamente pari a: 

30

ed a: 

Χ 

R 

= Χ − Χ 

A 

= 

Χ 

A 

n 

∑ 

j= 

1 

= 

Χ 

n 

∑ 

j= 

1 

j 

Χ 

A 

j 

− Χ 

A 

j 

= 

n 

N 

j 

∑∑ 

= 

j= 

1 i= 

0 

n 

∑ 

j= 

1 

Χ 

α Υ 

R 

j 

j 

= 

i, 

j 

n N j 

∑∑( 

1− α j ) 

j= 

1 i= 

0 

Naturalmente nel trattato può essere stabilito anche un limite superiore che cautela il 

riassicuratore; tale limite è usualmente definito come un certo multiplo della 

ritenzione dell’assicuratore diretto ed è perciò indicato in lines (linee), una linea 

essendo pari all’ammontare ritenuto. 

Riprendendo la schematizzazione proposta, potremmo ipotizzare che il numero 

massimo di linee che possono essere cedute per quel trattato sia pari a L; segue 

immediatamente che il massimo ammontare che può essere ceduto sarà pari a L*P. 

Abbiamo quindi che la massima esposizione che l’assicuratore diretto potrà 

sottoscrivere restando nei limiti del trattato 14 sarà pari al pieno di conservazione, P, 

più l’ammontare trasferito al riassicuratore, L*P, cioè ( 1 + L)P 

. 

Avendo espresso sia la ritenzione che l’ammontare ceduto come importi, può essere 

calcolata l’allocazione proporzionale di premi e risarcimenti: ad esempio, supponendo 

che si ricorra alla riassicurazione per la sua massima disponibilità, cioè per L*P, sarà 

la proporzione 

L ∗ P 

= L 

( 1+ 

L) 

∗ P ( 1+ 

L) 

ad essere utilizzata nella suddivisione di premi e risarcimenti. 

Tra gli aspetti positivi dal punto di vista del soggetto cedente spicca fra tutti la 

capacità della riassicurazione per eccedente di eliminare i picchi nel proprio 

portafoglio, poiché questa forma di copertura è in grado di attuare una forte 

omogeneizzazione dei rischi assunti. Per questo motivo la riassicurazione surplus è 

spesso utilizzata ad esempio nel ramo incendi, dove c’è una forte necessità di 

14 Può naturalmente eccedervi, sapendo che questo comporta il ricorso al facoltativo o un incremento 

della propria esposizione. E’ anche ipotizzabile la stipula di un’ulteriore e successiva riassicurazione 

surplus, che verrebbe definita riassicurazione di secondo eccedente per distinguerla dalla precedente, 

cui potremmo riferirci come riassicurazione di primo eccedente. Se necessario, è ipotizzabile il ricorso 

anche ad ulteriori surplus (di terzo eccedente, etc.). 

Υ 

i, 

j 

31

standardizzare il profilo dell’esposizione al rischio che può essere altrimenti piuttosto 

ampio in relazione ai differenti tipi di affari e rischi che possono rientrare nella 

copertura. 

Questo aspetto positivo, di riduzione della rischiosità del portafoglio, è testimoniato 

dal fatto che non solo una riassicurazione per eccedente, a parità di costo 15 per 

l’assicuratore, permette una riduzione più ampia della probabilità di rovina rispetto ad 

una quota-share, bensì è possibile dimostrare 16 che, sotto opportune ipotesi, il surplus 

è la forma riassicurativa con cui è possibile ottenere la minima probabilità di rovina 

per un prefissato livello di sacrificio dell’assicuratore. 

Questi benefici l’assicurato li sconta, per così dire, ricevendo una minore 

commissione di riassicurazione da parte del cessionario, in considerazione del fatto 

che il surplus agisce sui rischi più grandi, generalmente i peggiori, il che comporta un 

minor utile atteso per il riassicuratore. 

Esempio 

Concludiamo anche questo paragrafo con un’esemplificazione che mette in risalto i 

concetti espressi in merito a questa garanzia riassicurativa. 

Supponiamo sia fissata una ritenzione pari a 200.000 ed il surplus composto da 9 

linee, vale a dire che ipotizziamo che la liability del riassicuratore sia limitata a 

1.800.000; immaginiamo inoltre che il tasso di premio applicato dall’assicuratore 

all’assicurato corrisponda all’1,50‰ della somma assicurata; mostriamo quello che 

accade nei tre seguenti casi: 

a. l’esposizione monetaria originale del cedente ammonta a 2 milioni e si 

registrano sinistri per 1 milione; 

b. l’esposizione monetaria originale del cedente ammonta a 80.000 e si 

registrano sinistri per 50.000; 

c. l’esposizione monetaria originale del cedente ammonta a 2,5 milioni e si 

registrano sinistri per 1,6 milioni; 

15 Espresso in termini di valore atteso del guadagno di portafoglio, cioè di caricamento di sicurezza. 

16 Il riferimento è a BORCH K. H. (1972) "Risk management and Company objectives". 

32

Totali Assicuratore Riassicuratore 

Liability 2.000.000 200.000 = 10% 

1.800.000 = 90% 

(9 linee) 

Premi 3.000 300 = 10% 2.700 = 90% 

Sinistri 1.000.000 100.000 = 10% 900.000 = 90% 

Figura 7 – Surplus caso A 


Liability 80.000 80.000 = 100% 0 = 0% 

Premi 120 120 = 100% 0 = 0% 

Sinistri 50.000 50.000 = 100% 0 = 0% 

Liability 2.500.000 

Figura 8 – Surplus caso B 


200.000 = 8% 

+500.000 17 = 20% 

28% 

1.800.000 = 72% 

(9 linee) 

Premi 3.750 1.050 = 28% 2.700 = 72% 

Sinistri 1.600.000 448.000 = 28% 1.152.000 = 72% 

Figura 9 – Surplus caso C 

La condivisione dei rischi sotto un trattato di riassicurazione per eccedente di somma, 

riutilizzando le ipotesi alla base dell’esempio, è compatibile con un grafico di questo 

tipo: 

17 Questa parte che eccede sia la ritenzione che la copertura offerta dal trattato, può essere trattenuta 

dall’assicuratore diretto, come nell’esempio proposto, oppure da questo ceduta attraverso un 

facoltativo. 

33

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

Rischi 

Surplus 

Conservato Ceduto Facoltativo 

Figura 10 – Rappresentazione grafica del surplus 

34

4. Riassicurazioni non-proporzionali 

Procediamo adesso analizzando la più vasta e complessa gamma delle assicurazioni 

non proporzionali ed iniziamo effettuando una distinzione tra le due principali forme 

riassicurative appartenenti a questa macroclasse: 

riassicurazioni excess of loss; 

riassicurazioni stop-loss. 

Prima di descrivere nel dettaglio le varie tipologie, sembra opportuno segnalare che 

nella letteratura attuariale non si riscontra unanimità di vedute circa la tassonomia di 

queste forme riassicurative e che pertanto la classificazione operata nella seguente 

trattazione, sebbene sia ricollegabile in prevalenza ai testi citati nella bibliografia, 

mira a perseguire una coerenza autonoma. 

4.1 Riassicurazioni excess of loss 

A differenza delle riassicurazioni proporzionali, dove le cessioni sono collegate alle 

somme assicurate ed alla quota di liability, nelle riassicurazioni excess of loss, 

brevemente XL, predomina il concetto di loss (perdita), da qui una parte del nome. 

Nel trattato, la forma contrattuale che supporremo alla base nella nostra analisi, 

l’assicuratore ed il riassicuratore definiscono l’importo monetario entro il quale sarà 

esclusivamente il primo a farsi carico dei risarcimenti che interesseranno le classi di 

affari coperte dal contratto, mentre il riassicuratore pagherà l’intera perdita in 

eccesso 18 di questo ammontare, fino ad un convenuto limite della copertura, detto 

anche portata. 

L’importo che segna la soglia oltre la quale le perdite si trasferiscono a carico del 

riassicuratore prende il nome di priority (priorità), excess point, retention o 

deductible. 

18 E’ questa caratterizzazione ad aver coniato il termine di excess of loss. 

35

In relazione alle modalità con cui sono definite priorità e portata, si possono 

distinguere tre forme di riassicurazione excess of loss: 

• riassicurazione per risk excess of loss; 

• riassicurazione per event excess of loss; 

• riassicurazione aggregate excess of loss. 

4.1.1 Riassicurazione per risk XL 

La riassicurazione per risk excess of loss, spesso indicata con la sigla WXL/R 19 , si ha 

quando gli importi monetari che caratterizzano il trattato sono definiti a livello di 

ciascun sinistro che colpisce il singolo contratto; in altre parole, la copertura 

considera ogni sinistro come un’unità a sé stante. 

Riprendiamo la schematizzazione proposta per le riassicurazioni proporzionali e 

consideriamo un portafoglio composto da n contratti omogenei 20 del tipo 

“responsabilità civile”, con massimali di garanzia dati da W1, W2,…, Wn. La priorità è 

indicata per ciascun contratto nell’importo Lj, con j=1,…,n e supponiamo per il 

momento che sia stata stipulata una portata totale, vale a dire che l’esposizione 

monetaria del riassicuratore nei confronti di un sinistro sia limitata esclusivamente in 

conseguenza dei massimali stabiliti nei contratti originali. 

E’ quindi possibile, in riferimento all’i-esimo sinistro che colpisce il contratto jesimo, 

operare la seguente distinzione: 

Υ 

Υ 

R 

i, j 

A 

i, j 

= 

( Υi, 

j; 

j ) 

( Υ − L ; 0) 

= min L 

max i, j j 

pari rispettivamente al risarcimento a carico dell’assicuratore e quello trasferito al 


Di conseguenza, il risarcimento globale relativo al complesso dei contratti in 

portafoglio sarà pari a: 

19 L’acronimo WXL/R stà per Working excess of loss per risk. Il termine working sottolinea come tale 

copertura possa essere attivata da una perdita su un singolo sinistro; si usa dire che la copertura è 

exposed per risk. 

20 Qui e nel seguito con questo termine intenderemo riferirci alla definizione data nel paragrafo 3.1. 

36

Χ 

A 

= 

n 

N 

j 

∑∑ 

j= 

1 i= 

0 

Υ 

A 

i, 

j 

= 

n 

N 

j 

∑∑ 

j= 

1 i= 

0 

min 

( Υ ; L ) 

relativamente alla parte conservata dall’assicuratore diretto, mentre sarà ceduto 

l’ammontare dato da: 

Χ 

R 

= 

n 

N 

j 

∑∑ 

j= 

1 i= 

0 

Υ 

R 

i, 

j 

= 

n 

N 

j 

∑∑ 

j= 

1 i= 

0 

max 

i, j 

( Υ − L ; 0) 

Nell’ipotesi, più realistica, che il trattato preveda una portata parziale, cioè un limite 

superiore all’esposizione del cessionario 21 , pari a Qj per il contratto j-esimo, il 

risarcimento a carico del riassicuratore, relativo all’i-esimo sinistro che colpisce tale 

contratto, sarà dato da: 

Υ 

R 

i, j 

= 

i, j 

[ max( 

Υ − L ; 0) 

, Q ] 

min i, j j 

Nelle riassicurazioni excess of loss, in generale, è indicato con il termine di layer of 

cover (fascia di copertura) o più semplicemente layer, la regione che và dall’excess 

point alla portata. Se indichiamo questi due valori con l ed m rispettivamente, 

possiamo riferirci sinteticamente ad una tale copertura come: m XS l; 

indicativamente, se ipotizziamo l = 1.000 e m = 200, possiamo così visualizzare il 

layer in questione: 

1.000 XS 200 

Generalmente un programma riassicurativo prevede la copertura di più layers, in 

quanto, come si può comprendere dalla schematizzazione esposta in precedenza, nella 

quale l’assicuratore rimaneva privo di copertura per importi che superavano la portata 

Qj, il cedente è interessato a procurarsi ulteriori garanzie riassicurative tali che gli 

consentano di ottenere la “copertura obiettivo” che si era prefisso. 

E’ infatti usuale che un singolo riassicuratore imponga nel trattato limiti alla propria 

esposizione, in quanto specializzato in un determinato layer anziché che in un altro, 

piuttosto che per diversi ulteriori motivi. Occorre sottolineare infatti che la stessa 

21 Tale importo risulterà inferiore alla differenza Wj-Lj, perché tale è l’esposizione massima per 

l’assicuratore diretto in conseguenza del contratto originario stipulato con l’assicurato. 

j 

j 

j 

37

copertura riferita però a layers diversi presenta caratteristiche differenti: i layers più 

bassi saranno esposti ad un frequenza maggiore di sinistri rispetto ai layers più 

elevati, dove il numero atteso dei sinistri sarà minore per entrambe le parti coinvolte 

nel trattato. 

Per queste ragioni, il primo layer è anche detto working layer, mentre ci si riferisce ai 

layers molto alti come a high o inused layers, o anche come sleep easies. 

Ciò detto, non è escluso a priori il caso che un riassicuratore offra la copertura per più 

layers, magari anche non consecutivi fra loro. 

Esempio 

Per comprendere meglio il meccanismo delle fasce, visualizziamo nella tabella 

seguente la ripartizione dell’importo del sinistro Y, nell’ipotesi di una copertura 

effettuata mediante tre distinti layers, nella quale si è indicato con: 

• la variabile X l’onere conservato dall’assicuratore diretto; 

• con la variabile Z R1 , Z R2 , Z R3 l’onere del riassicuratore del primo, del secondo 

e del terzo layer rispettivamente, 

• m1 ed l1 gli elementi di una prima copertura m1 XS l1; 

• m2 ed l2 = l1 + m1 gli estremi della seconda fascia; 

• m3 ed l3 = l2 + m2 le caratterizzazioni del terzo ed ultimo layer. 

X Z R1 

Z R2 

Y ≤ l1 Y 0 0 0 

l1 < Y ≤ l2 l1 Y - l1 0 0 

l2 < Y ≤ l3 l1 m1 Y - l2 0 

Z R3 

l3 < Y ≤ l3 + m3 l1 m1 m2 Y - l3 

Y > l3 + m3 l1 + Y – (l3 + m3) m1 m2 m3 

Figura 11 – Tabella Layers 

4.1.2 Riassicurazione per event XL e Catastrophe XL 

38

Nella riassicurazione per event excess of loss, anche indicata brevemente con 

WXL/E 22 , ritroviamo lo stesso meccanismo dei layers descritto per la WXL/R ma, 

come per la priorità e la portata, questi concetti sono adesso riferiti non al singolo 

sinistro ma al singolo evento, che rappresenta in questa tipologia il concetto unitario 

di loss. 

In questa nuova ottica, la causa fondamentale del sinistro non é più individuata nelle 

caratteristiche dell’assicurato, ma viene riconosciuta nell’accadimento di uno 

specifico evento. Si comprende quindi come tale tipologia sia auspicabile in 

particolar modo qualora si ritenga di avere una platea “sufficientemente 

indipendente” di soggetti assicurati; al contempo questo cambio di prospettiva pone 

in risalto la necessità di definire nel trattato, secondo criteri il più possibile oggettivi, 

cosa si intende per evento, in particolari per certi tipi di copertura, come vedremo nel 

seguito. 

Riprendiamo la schematizzazione dei capitoli precedenti e supponiamo di disporre di 

un portafoglio di n contratti omogenei, anche questa volta relativi ad assicurazioni di 

responsabilità civile; indicheremo con Z il risarcimento globale relativo ai sinistri 

che, in conseguenza del singolo evento, affliggono uno o più contratti appartenenti al 

portafoglio. La priorità fissata in corrispondenza di tale evento sarà indicata con L C , 

mentre anche questa volta supporremo inizialmente una portata totale. 

Avremo dunque che l’importo rimasto a carico dell’assicurato sarà pari a: 

Ζ A 

= min Ζ 

mentre sarà trasferito al cessionario l’importo: 

Ζ R 

= max 

C ( ; L ) 

C ( Ζ − L ; 0) 

Se introduciamo invece un limite all’esposizione del riassicuratore, ipotesi più 

realistica, rappresentato dalla portata, indicata con Q C , avremo che l’intervento di 

quest’ultimo sarà descritto da: 

Ζ 

R 

= min 

C C 

[ max( 

Ζ − L ; 0) 

; Q ] 

Una fondamentale distinzione che è necessario operare nell’ambito delle 

riassicurazioni per event è quella relativa agli eventi di natura catastrofale. 

22 L’acronimo WXL/E stà per Working excess of loss per event. 

39

In particolare si vuole distinguere una riassicurazione che, nell’ambito della struttura 

di una excess of loss del tipo per event, intende proteggere il capitale dell’assicuratore 

dall’esposizione alle catastrofi. Questa speciale tipologia, che indicheremo con 

CATXL 23 , prevede la definizione della priorità e della portata in modo che il trattato 

sia interessato solo in casi di accumulo di sinistri associabili ad eventi catastrofici, 

anche detti eventi estremi. In questa specifica forma la priorità, per quanto detto, 

prende anche il nome di pieno catastrofale e tale copertura nella pratica è disponibile 

unicamente nella forma del trattato. 

E’ a questa forma riassicurativa che intendevamo riferirci in precedenza, quando 

abbiamo accennato alla particolare attenzione da prestare alla definizione di “evento” 

fornita nel trattato; spesso si ricorre ad una definizione di evento catastrofico basata 

sul numero minimo di sinistri che devono coinvolgere i contratti del portafoglio 

assicurato, indicando un intervallo temporale entro il quale deve essere raggiunto tale 

numero, ad esempio 72 ore. Questo stesso intervallo può essere utilizzato per 

distinguere, ai meri fini riassicurativi, tra due catastrofi contigue, come ad esempio un 

uragano della durata superiore a tre giorni. 

Nella definizione di evento rientra anche la distinzione operata nella pratica tra: 

• catastrofi naturali; 

• catastrofi man-made. 

In particolare, rientrano nella prima categoria uragani, terremoti, inondazioni, 

tsunami, etc.; appartengono invece alla categoria degli eventi estremi provocati 

dall’uomo i disastri aerei, della navigazione o del traffico terrestre, le esplosioni di 

impianti petroliferi, etc.. 

Questa distinzione è rilevante in quanto le due categorie sono distinte dalla frequenza 

e dal grado di danno che caratterizzano l’evento tipo, vale a dire che le catastrofi 

naturali rappresentano eventi rari che provocano sinistri ad un numero spesso elevato 

di rischi assicurati, mentre le catastrofi man-made sono eventi relativamente meno 

rari, che coinvolgono un numero di rischi minore 24 . 

Riprendiamo anche per questa tipologia l’usuale schematizzazione, ed indichiamo 

inoltre con K il numero aleatorio di catastrofi che interessano il portafoglio nel 

23 Catastrophe excess of loss. 

24 L’entità dei risarcimenti invece non è detto sia mediamente inferiore. 

40

periodo coperto da riassicurazione, mentre utilizzeremo Z h , h=1,…,K, per riferirci al 

risarcimento globale derivante dall’h-esima catastrofe in ordine di accadimento. 

Ipotizziamo infine che il trattato di riassicurazione preveda unicamente un pieno 

catastrofale pari a L C ; avremo dunque che 

Χ 

A 

= 

K 

∑ 

h= 

0 

min 

C ( Z ; L ) 

rappresenta il risarcimento globale al netto della riassicurazione, mentre 

Χ 

R 

= 

K 

∑ 

h= 

0 

max 

h 

C ( Z − L ; 0) 

descrive il risarcimento globale a carico del riassicuratore. 

Un ultimo aspetto che preme evidenziare circa la copertura CATXL è il rischio, per il 

riassicuratore, di una possibile presenza di situazione di moral hazard. Poichè il 

limite superiore della copertura offerta dal cessionario è tipicamente molto alto, 

proprio per far fronte ai danni derivanti da eventi estremi, il soggetto assicurato 

potrebbe comportarsi in maniera fraudolenta qualora, avendo poco interesse in 

termini economici circa il costo della liquidazione dei sinistri, si comportasse in 

maniera eccessivamente ed ingiustificatamente generosa con i propri diretti assicurati 

al solo scopo di mantenere con questi ultimi buoni rapporti e quindi fidelizzare a 

spese del riassicuratore la propria clientela. Questo tipo di comportamento lo si può 

idealmente correggere instaurando rapporti di lungo periodo con lo stesso 

riassicuratore, che adeguerà il premio anche in considerazione di questo genere di 

atteggiamento. 

Prima di passare ad esemplificazioni circa le modalità fin qui presentate, appare 

doverosa una precisazione: sebbene nelle schematizzazioni proposte sia per il caso 

WXL/R che per il caso WXL/E si sia ipotizzato, al fine di favorire una più immediata 

comparazione dei diversi risultati, una copertura del tipo “responsabilità civile”, 

quest’ultima è nella pratica più spesso abbinata alle forme del secondo tipo, in quanto 

si può mutuare con facilità la definizione di evento assicurato da quella indicata nel 

contratto assicurativo di base, mentre il tipo per risk è usata soprattutto nella 

riassicurazione incendi. 

h 

41

Esempio 

Il primo esempio che faremo ha come obiettivo quello di distinguere con chiarezza i 

diversi effetti prodotti da una WXL/R e da una WXL/E. 

Supponiamo che sia definita la priorità l= 200 e la portata m= 800; la copertura in 

oggetto è dunque una 800 XS 200. Adesso ipotizziamo si tratti di una copertura del 

tipo per risk e vediamo i risultati economici che tale forma produce per assicurato e 

riassicuratore nel caso si verifichino i sinistri riportati in tabella. 

Risarcimento Conservato Ceduto 

Sinistro 1 350 200 150 

Sinistro 2 250 200 50 

Sinistro 3 400 200 200 

Sinistro 4 200 200 0 

Totale 1.200 800 400 

Figura 12 – Tabella WXL/R 

A parità di sinistri, che supponiamo riconducibili tutti allo stesso evento, diversa è la 

ripartizione tra cedente e cessionario nel caso di una WXL/E: 

Risarcimento 

Sinistro 1 350 




Totale Evento 1.200 

Priorità 200 

Portata 800 

Totale Conservato 200+1.200-(200+800) = 400 

Totale Ceduto 800 

Figura 13 – Tabella WXL/E 

Visualizziamo graficamente quanto riportato nelle tabelle precedenti: 

42

Risarcimento 

Risarcimento 

1200 

1000 

800 

600 

400 

200 

0 

1400 

1200 

1000 

800 

600 

400 

200 

0 

150 

WXL/R 

50 

200 

200 200 200 200 

1 2 3 4 

Rischi 

Conservato Ceduto 

Figura 14 – Grafico WXL/R 

WXL/E 

200 

800 

200 

1 

Eventi 

Priorità Portata Facoltativo 

Figura 15 – Grafico WXL/E 

0 

43

Naturalmente questa esemplificazione non deve condurci alla falsa conclusione che 

una copertura per event offra comunque una protezione migliore per il riassicurato 

rispetto ad una di tipo per risk; quest’ultima è infatti in grado di fornire maggiori 

vantaggi per il cedente nelle situazioni in cui i rischi relativi ad un evento siano tali da 

eccedere la portata della riassicurazione per event. Una situazione di questo genere si 

sarebbe verificata nell’esempio precedente se avessimo supposto la presenza di un 

quinto sinistro 25 , di ammontare pari a 700, che nella WXL/R avrebbe fatto innalzare 

il risarcimento a carico dell’assicuratore di 200 26 , portandolo a 1.000, mentre la 

WXL/E avrebbe attribuito l’intero risarcimento dei 700 a carico dell’assicuratore, 

essendo stata già raggiunta la portata per quell’evento, facendo sì che l’ammontare 

dovuto dal cedente fosse pari 1.100. 

Esempio 

L’esempio successivo pone invece in risalto le modalità con cui operano la WXL/R e 

la CATXL, in una delle loro possibili combinazioni. 

Si supponga che, a seguito di altre forme di trasferimento dei rischi 27 , la ritenzione di 

un assicuratore sia pari a 8.000 e che questo decida di proteggersi acquistando una 

riassicurazione WXL/R 6.000 XS 2.000 ed una ulteriore e successiva riassicurazione 

contro gli eventi catastrofi, in particolare una CATXL 9.000 XS 4.000. 

Nelle tabella seguente sono riportate alcune possibilità circa l’esito di tali coperture. 

Ipotesi 1 


Si verifica un incendio che provoca danni per 1.000; 

i risarcimenti: 

Assicuratore diretto 1.000 

Riassicuratore WXL/R 0 

Riassicuratore CATXL 0 

Si verifica un incendio che provoca danni per 7.000; 

i risarcimenti: 


25 Riferibile sempre al medesimo evento da cui sono scaturiti gli altri quattro. 

26 Essendo 200 la priorità relativa a ciascun rischio. 

27 Il riferimento è alle riassicurazioni proporzionali. 

44


Riassicuratore WXL/R 5.000 

Riassicuratore CATXL 0 

Si verifica un terremoto che colpisce cinque sinistri, S1, S2, S3, 

S4 ed S5 provocando rispettivamente i seguenti danni: 1.000, 

1.000, 1.000, 2.000 e 4.000 


Riassicuratore WXL/R 2.000 

Riassicuratore CATXL 3.000 

Figura 16 – Combinazione di WXL/R e di CATXL 

Motiviamo gli importi relativi all’ultima ipotesi: nel caso di cinque sinistri, tutti 

ricollegabili allo stesso evento catastrofico, si ha un’iniziale priorità a carico 

dell’assicuratore diretto pari a 2.000 e riferita alla copertura WXL/R; 

successivamente è il riassicuratore che ha venduto quest’ultima a restare coinvolto, 

sebbene unicamente in relazione al sinistro S5 che ha superato la priorità prevista nel 

trattato, dunque sarà a suo carico l’eccesso pari a 2.000; resterebbero però nelle 

responsabilità del cedente importi per complessivi 7.000, il che automaticamente fa 

innescare il meccanismo della protezione addizionale di tipo CATXL che prevede 

una priorità di 4.000, che corrisponderà all’importo definitivamente a carico 

dell’assicuratore diretto 28 , mentre cadranno sotto la responsabilità del riassicuratore 

cessionario della copertura catastrofale i restanti 3.000. 

Quanto detto è illustrato graficamente di seguito, dove, come di consueto, si è 

indicato, per entrambe le forme assicurative, con il colore rosso i risarcimenti 

conservati dall’assicuratore diretto, mentre il colore blu indica la parte dei 

risarcimenti di competenza dei riassicuratori. 

28 In quanto i danni non eccedono la portata del trattato CATXL. 

45

13000 

12000 

11000 

10000 

9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

0 

WXL/R 

S1 S2 S3 S4 S5 

Sinistri 

CATXL 

S5 

S4 

S3 

S2 

S1 

1 

Catastrofi 

Figura 17 – Grafici relativi alla combinazione di WXL/R e di CATXL 

46

4.1.3 Riassicurazione aggregate XL 

Attraverso la forma riassicurativa dell’aggregate excess of loss l’impresa assicurativa 

cedente si tutela contro il rischio di perdite di esercizio che si possono verificare in un 

dato ramo o nella gestione di un certo gruppo di rischi omogenei, fissando come 

priorità un valore monetario che rimarrà a suo carico in riferimento al risarcimento 

globale scaturito dall’intero portafoglio descritto nel trattato. Tale valore è indicato 

come priorità globale e nella schematizzazione che segue è rappresentato da L G ; 

inizialmente ipotizziamo al solito che non sia prevista una portata. 

Il risarcimento globale conservato dal riassicurato è dunque immediatamente 

calcolabile, essendo dato da: 

Χ 

A 

= min Χ 

G ( ; L ) 

mentre il riassicuratore si farà carico dell’importo: 

Χ 

R 

= max 

G ( Χ − L ; 0) 

Se adesso assumiamo l’ipotesi più realistica di una portata limitata dal valore 

monetario Q G , avremo che l’importo ceduto al riassicuratore sarà pari a: 

Χ 

R 

= min[max 

G G 

( Χ − L ; 0) 

; Q ] 

ed il risarcimento globale a carico dell’assicurato diventerà conseguentemente: 

Χ 

A 

= min 

G 

G 

( Χ; 

L ) + max( 

Χ − Q ; 0) 

Molteplici sono gli evidenti vantaggi che una copertura di questo tipo è in grado di 

offrire al soggetto riassicurato, primo tra tutti la possibilità per il cedente di limitare i 

danni derivanti da un’errata previsione a livello dell’intero portafoglio, dunque in 

riferimento al cosiddetto rischio di tariffazione 29 . 

Esempio 

A conclusione del paragrafo inseriamo un breve esempio di riassicurazione aggregate 

XL, con cui visualizzare i possibili esiti di una tale copertura. Per far ciò, l’unico 

importo che è necessario ipotizzare, oltre ai valori di L G e Q G , è quello relativo al 

29 

E’ un rischio connesso all’attività dell’attuario, alla capacità di immettere sul mercato un prodotto 

equilibrato ma concorrenziale. 

47

isarcimento globale dell’intero portafoglio oggetto della copertura, che è riportato, 

come la successiva spartizione tra cedente e cessionario, nella tabella che segue. 

Priorità globale 60.000 

Portata 90.000 

Risarcimento globale generato dal portafoglio 70.000 

Risarcimento globale a carico dell’assicuratore 60.000 

Risarcimento globale dovuto dal riassicuratore 10.000 

4.2 Riassicurazione stop-loss 

Figura 18 – Esempio di aggregate XL 

Il trattato stop-loss è progettato per quegli assicuratori diretti che sono alla ricerca 

della forma di copertura più ampia possibile; questa tipologia riassicurativa risponde 

a detto criterio di ricerca in quanto il riassicuratore cessionario risulta obbligato a 

farsi carico di tutto l’onere dei sinistri totali che eccede il limite stabilito per la quota 

del riassicurato. 

Si può sicuramente notare come la definizione fin qui fornita sia adattabile anche alla 

forma aggregate excess of loss; ciò che contraddistingue la nuova modalità 

riassicurativa dalle altre forme non proporzionali in genere e dalla modalità aggregate 

in particolare, risiede infatti nel modo in cui sono definite portata e priorità, presenti 

anche in questi trattati, non più indicate in importi monetari, bensì stabilite in termini 

percentuali. 

Il contratto riassicurativo verte infatti sulla definizione di un rapporto percentuale 

sinistri a premi di competenza del portafoglio, il cosiddetto loss ratio 30 : 

sinistri netti di competenza 

loss ratio = 

premi netti di competenza 

30 Nel calcolo del rapporto si utilizzano gli importi dei sinistri e dei premi al netto di precedenti, 

eventuali riassicurazioni, nella pratica quasi sempre presenti. 

48

Questo rapporto, che indicheremo nel seguito con q, corrisponde al massimo 

risarcimento, in percentuale dei premi, che l’assicuratore è intenzionato ad effettuare 

in conseguenza dei sinistri che interesseranno il portafoglio lungo il corso del trattato. 

Riprendiamo infine l’usuale schematizzazione e supponiamo di essere in presenza di 

una riassicurazione stop-loss avente per oggetto un portafoglio di assicurazioni di 

responsabilità civile composto da n contratti omogenei. 

Ipotizziamo quindi che sia prevista una priorità globale 31 fissata nella misura di q Sl , 

ed inizialmente supponiamo che la portata sia totale. 

La percentuale dell’ammontare complessivo dei premi 32 conservata dal riassicurato 

nelle suddette condizioni, sarà pari a: 

A 

q = min ; 

SL ( q q ) 

mentre quella ceduta al riassicuratore sarà data da: 

R 

q = max − 

SL ( q q ; 0) 

oppure, nel caso sia inserita nel trattato una portata pari a q*, avremo: 

q 

R 

= min[max 

SL * 

( q − q ; 0) 

; q ] 

Poiché l’obiettivo di tale copertura, ed in generale di tutte le riassicurazioni, non è e 

non può essere quello di esonerare l’assicuratore diretto da tutto il rischio tipico 

dell’iniziativa imprenditoriale, il riassicuratore richiede ragionevolmente al cedente 

che questo incorra in una perdita tecnica 33 prima che la copertura stop-loss intervenga 

a protezione del capitale sociale 34 . 

Sempre in questo contesto, è utile notare come la stop-loss presenti, come l’aggregate 

XL, un importante rischio di moral hazard per il riassicuratore che, in questa forma 

omnicomprensiva di riassicurazione, si trova a fronteggiare rischi come: 

• il rischio di riservazione, o reserving risk: è legato alla possibile insufficienza 

delle riserve tecniche accantonate; 

• il rischio di fallimento dei riassicuratori che offrono coperture anteriori alla 

propria; 

• rischio dell’inadeguatezza delle basi tecniche; 

31 Come nel caso della forma aggregate XL, la priorità si dice anche priorità globale. 

32 Riferiti ai contratti coperti dal trattato e di competenza del corrispondente periodo temporale. 

33 Vale a dire che i premi incassati risultano insufficienti per coprire i risarcimenti ed i costi. 

34 Oppure del fondo di garanzia nel caso di imprese di assicurazioni operanti in forma di mutue. 

49

Per i motivi suddetti l’assicurazione stop-loss è una tipologia molto interessante per il 

riassicurato e contemporaneamente la meno gradita dal riassicuratore. 

Questa forma di copertura risulta quindi rara nella pratica, dove trova comunque 

spazio se associata ad ulteriori ed antecedenti coperture riassicurative, nonché nei casi 

in cui l’impresa cedente e la cessionaria siano società appartenenti ad un medesimo 

gruppo, ad esempio un’impresa controllata ed un’impresa madre, dove quest’ultima 

decide di offrire questo tipo di supporto alla società di nuova costituzione o 

all’impresa che si trova in temporanee difficoltà. 

Esempio 

Per concludere questa sezione presentiamo un esempio di riassicurazione stop-loss, 

nel quale visualizziamo gli esiti di una copertura supposta operante per tre anni 

consecutivi. 

Le ipotesi: 

• ammontare dei premi diretti 35 di competenza: 50.000; 

• costi sostenuti dall’assicuratore diretto: 15.000 = 30%; 

• condizioni del trattato stop-loss: q=100% e q Sl =50% 

Si segnala come il trattato in questione, che prevede una copertura pari al 50% 

dell’ammontare dei premi diretti di competenza, una volta che i risarcimenti abbiano 

superato il 100% di tale valore, imponga che la portata risulti pari ai premi conseguiti. 

Questo comporta automaticamente che l’assicuratore diretto accetti di incorre in una 

perdita d’esercizio pari al 30% di detti premi e corrispondente all’ammontare dei costi 

diretti 36 sostenuti, prima che intervenga la stop-loss. 

Anno Totale risarcimenti Conservato Ceduto 

Anno 1 55.000 50.000 5.000 

Anno 2 45.000 45.000 0 

35 

Si è indicato con la dicitura “premi diretti” quelli incassati dall’assicuratore diretto da parte degli 

assicurati. 

36 

Ancora una volta caratterizziamo con questo aggettivo gli importi, in questo caso oneri, derivanti 

dalla stipula dei contratti tra assicurato e assicuratore. 

50

Anno 3 90.000 50.000 + 15.000 25.000 

Figura 19 – Esempio di stop-loss 

Un ultimo commento relativo al terzo anno: l’assicuratore diretto vede imputare a suo 

carico non solo la priorità, bensì anche la parte eccedente la portata del riassicuratore, 

da qui l’attribuzione degli ulteriori 15.000. 

4.3 Condizioni contrattuali 

In questo paragrafo effettueremo una descrizione di alcune delle clausole e delle 

condizioni che possono interessare i contratti oggetto della nostra analisi. In 

particolare, ci interesseremo di: 

clausola di reciprocità; 

basis of coverage (basi della copertura); 

coinsurance clause (clausola di coassicurazione); 

stability clause (clausola di stabilità); 

reinstatement clause (clausola dei reintegri) e limiti alla copertura; 

Iniziamo illustrando il significato comunemente attribuito alla clausola di reciprocità, 

o all’affare di reciprocità come viene spesso definito. Detto affare consiste in una 

particolare operazione riassicurativa mediante la quale due assicuratori si impegnano 

reciprocamente a trasferirsi le quote di rischio superiori al loro rispettivo pieno di 

conservazione. Occorre ricordare che questa pratica si è sviluppata agli inizi del XX 

secolo con lo scopo di fronteggiare una certa scarsità di offerta sul mercato 

riassicurativo; per questo motivo ci si riferisce inizialmente ad una reciprocità di 

servizio. Successivamente però l’impiego di questo tipo di operazione muta di 

fisionomia, in particolare si ricerca con questo sistema una riduzione dell’alea che 

corre il riassicuratore cessionario, mentre notevoli sono i vantaggi ottenuti dal punto 

di vista dell’equilibrio industriale. 

La reciprocità consente infatti: 

51

• di acquisire una maggiore stabilità nel portafoglio di entrambe le imprese in 

considerazione della legge dei grandi numeri e dell’aumento dei rischi 

assicurati; 

• in riferimento a nuovi mercati per il settore assicurativo, l’interscambio di 

rischi con riassicuratori di mercati più evoluti sotto l’aspetto tecnico-attuariale 

consente di perseguire un equilibrio geografico altrimenti non raggiungibile 

nella ristretta dimensione degli affari nazionali; 

• di riequilibrare il flusso negativo di importi impiegati per la riassicurazione 

passiva, il che produce effetti positivi anche sulla bilancia dei pagamenti. 

La reciprocità presenta però anche alcuni aspetti non positivi, in particolare se 

utilizzata in misura eccessiva: occorre tener presente, infatti, che il nuovo portafoglio 

idealmente realizzato per ciascuna impresa in seguito a questo interscambio presenta 

sì un miglior requisito di massa, ma può risultarne inficiato il carattere 

dell’indipendenza e quello dell’omogeneità qualitativa. In quest’ottica è 

sconsigliabile un disincantato approccio a questa operazione, magari con l’unico 

scopo di conseguire un “vistoso” aumento della produzione lorda in bilancio per 

“abbagliare” gli azionisti e gli stakeholders in generale. 

Per quanto concerne invece le basi con cui si intende far operare la copertura 

riassicurativa, attraverso qualunque forma questa sia realizzata, si è soliti distinguere 

tra coperture operanti: 

• claims made basis (in base alle richieste di risarcimento); 

• losses occurring basis (in base all’accadimento dei sinistri); 

• policies incepted during basis, o PID basis (in base alle polizze stipulate 

durante) 

Una riassicurazione che adotta la claims made basis copre i sinistri di cui il cedente 

viene a conoscenza durante il periodo del trattato e che comunica immediatamente al 

riassicuratore. Molto spesso i trattati che prevedono questo funzionamento 

contengono anche un’indicazione temporale atta a limitare la retroattività tipica di 

questa modalità, cioè sarà stabilita una data che esclude dalla copertura i sinistri 

verificatisi prima di tale data. 

Nell’ipotesi invece che la riassicurazione stipulata individui la losses occurring, o 

LOC, come base operativa, il cessionario sarà chiamato a pagare la sua parte di tutti i 

52

sinistri la cui data di accadimento ricade nel periodo di calendario coperto dal trattato; 

si osserva quindi un’estensione temporale della copertura rispetto alla clausola 

precedente. 

Diversamente succede nel caso di una base del tipo PID, la quale fa sì che il 

riassicuratore offra protezione contro tutti i sinistri legati ai contratti stipulati durante 

il periodo di validità del trattato. Si comprende come un contratto di riassicurazione 

contenente questa clausola comporti un’espansione, sul piano temporale, del periodo 

di esposizione del cessionario, che può essere anche esteso di diversi anni in più 

rispetto a contratti operanti con una delle altre clausole 37 . 

Occorre sottolineare l’importanza che deve essere data alla verifica della scelta della 

clausola più opportuna, specie nei momenti in cui si dovesse optare per un 

cambiamento di quella precedentemente adottata perché potrebbe altrimenti 

verificarsi un’assenza od un eccesso di copertura. La prima delle situazioni descritte 

si realizzerebbe passando da una copertura con clausola LOC ad una che adotta la 

PID: resterebbero privi di riassicurazione i sinistri occorsi durante il periodo di 

valenza del nuovo trattato ma scaturiti da contratti stipulati sotto il trattato previgente. 

L’altra situazione, altrettanto non desiderabile in quanto antieconomica, si avrebbe 

passando da un trattato con clausola PID ad uno operante tramite la condizione LOC: 

sarebbero sovrapposte le coperture relative ai sinistri originati dai contratti, quelli non 

ancora scaduti, stipulati nel periodo di valenza del precedente trattato. 

Altra peculiarità che è possibile trovare in alcuni trattati, specie quelli dove gli 

importi in gioco sono particolarmente elevati, è la clausola di coassicurazione. Questa 

postilla obbliga il soggetto cedente a trattenere una quota del sinistro che verrebbe 

altrimenti ceduta in quanto eccedente la retention stabilita nel trattato excess of loss. 

L’utilità di un accordo di questo tipo, che viene naturalmente tenuto presente in sede 

di pricing dal riassicuratore, è duplice: un vantaggio è evidente dal punto di vista del 

cessionario, che vede ridursi il rischio di moral hazard in quanto il soggetto cedente 

viene ad avere un interesse finanziario nel mantenere un attento controllo sui 

risarcimenti garantiti agli assicurati; l’altro aspetto positivo riguarda invece il mercato 

riassicurativo inteso in senso generale, mercato che soffre tipicamente di una spirale 

37 La durata dell’esposizione in questa modalità dipende dalla durata prevista dal contratto originario 

stipulato dal riassicurato con i gli assicurati diretti. 

53

di collegamenti tra le società di riassicurazione che amplifica, trasferendo l’onere da 

un riassicuratore ad un altro, i costi dei risarcimenti 38 , mercato per il quale questa 

clausola rappresenta un modo per far uscire parte dei sinistri di maggiori dimensioni 

da detto ciclo, noto anche come claim spiral. 

Occupiamoci adesso di una clausola che tutela il riassicuratore dall’onere di 

fronteggiare da solo il mutare dei fattori economici, legando anche il riassicurato alla 

dinamica degli affari del lungo periodo: la clausola di stabilità. I rapporti economici 

mutano a seguito della crescente inflazione, che fa aumentare il costo dei risarcimenti 

nel tempo. Senza questo tipo clausola, oggi in uso in molti tipi di contratti, l’intero 

ammontare aggiuntivo, derivante dall’inflazione, sarebbe a carico del riassicuratore, 

mentre attraverso questo accordo, l’inflazione è distribuita proporzionalmente sulla 

base di quanto stabilito nel trattato, dove è indicato anche un valore di riferimento con 

cui indicizzare gli importi 39 , ad esempio l’indice dei salari o quello dei prezzi al 

consumo. Ora, attraverso un esempio, vediamo come si realizza questa 

compartecipazione. 

Esempio 

Supponiamo sia stato stipulato un trattato relativo ad una copertura excess of loss, in 

particolare una 900.000 XS 300.000, nel quale si è inserita una clausola di stabilità, 

che prevede che l’assicuratore diretto debba fornire al cessionario, oltre agli importi 

pagati per i vari sinistri, anche le date in cui sono stati effettuati tali pagamenti. 

L’ammontare di ogni singolo risarcimento sarà adeguato mediante la formula: 

valore base dell'indice 

importo effettivamente 

pagato × 

= 

importo adeguato del pagamento 

indice al momento del pagamento 

Sempre nel trattato è però specificato che tale adeguamento si applica solo agli 

importi per cui l’indice di riferimento abbia subito una deviazione superiore al 10% 

rispetto al valore di base, cioè al valore che lo stesso indice aveva nel momento della 

stipula del trattato, che supporremo essere pari a 115 e riferito al 1 Gennaio 2001. 

Ipotizziamo una situazione di sinistrosità come riportata nella tabella seguente: 

38 Si pensi alle somme ingenti necessarie per far fronte ad eventi catastrofici. 

39 Per questo la clausola di stabilità è anche indicata con il nome di indexation clause. 

54

Sinistro Importo 

effettivamente 

pagato 

Data di 

pagamento 

Valore indice 

alla data di 

pagamento 

Fattore di 

adeguamento 

Sinistro A 60.000 01/09/2001 123,0 nessuno 40 

Sinistro B 75.000 19/04/2002 127,4 

Sinistro C 590.000 12/02/2004 153,7 

Step 1 

Step 2 

75 . 000× 

115 

127, 

4 

590 . 000× 

115 

153, 

7 

Importo 

adeguato del 

pagamento 

60.000 

67.700,16 

441.444,37 

725.000 569.144,53 

Figura 20 – Adeguamento dei valori ad un indice 

Analizziamo adesso la ripartizione dei risarcimenti, che può avvenire tramite due 

equivalenti procedure: 

• la prima modalità, partendo dalla ridefinizione di priorità e portata in termini 

percentuali del nuovo totale degli importi adeguati, procede poi alla 

spartizione dell’ammontare effettivamente pagato tramite questa percentuale; 

• la seconda modalità prevede invece l’utilizzo del rapporto 

totale degli importi effettivamente 

pagati 

totale degli importi adeguati 

che, moltiplicato per la priorità e per la portata, fornisce i nuovi importi, 

adeguati, di tali valori. 

Terminando il nostro esempio avremo dunque: 

Metodo di calcolo n. 1 

Totale degli importi adeguati 569.144,53 = 100,0000% 

Priorità 300.000 = 52,7107% 

Sinistri che hanno colpito il layer 269.144,53 = 47,2893% 

Totale dei risarcimenti effettivi 725.000 

Nuova priorità 52,7107% di 725.000 = 382.152,58 

Risarcimento a carico del 

riassicuratore 

47,2893% di 725.000 = 342.847,42 

40 Si noti che lo scostamento dal valore base dell’indice è inferiore al 10%. 

55

totale degli importi effettivamente 

pagati 

totale degli importi adeguati 

Metodo di calcolo n. 2 

= 

725. 

000 

569. 

144, 

53 

= 1,27384163 

Nuova priorità 1,27384163 × 300.000 = 382.152,49 

Risarcimento a carico del riassicuratore 1,27384163 × 269.144,53 = 342.847,50 

Figura 21 – Ripartizione dei risarcimenti sotto la clausola di stabilità 

Si sottolinea che le differenze riscontrate tra i risultati dei due metodi proposti sono 

da imputare unicamente ad imprecisioni di calcolo dovute agli arrotondamenti; l’uso 

di un maggior numero di decimali aumenterebbe la precisione e quindi diminuirebbe 

la distanza tra i risultati. 

Un modo differente per tener conto dell’inflazione, limitandone, come attraverso la 

clausola di stabilità, gli effetti negativi per il riassicuratore, sarà presentato nel 

paragrafo 4.4. 

Una clausola che è in grado di far variare in maniera considerevole la misura del 

trasferimento degli oneri e dunque l’ammontare dei premi spettanti al riassicuratore è 

la clausola dei reintegri, utilizzata nei trattati excess of loss. 

Attraverso questo accordo, nel contratto è limitato l’ammontare totale che il 

riassicurato potrà recuperare da quella copertura, mediante l’indicazione di un 

numero di reintegri. In altre parole, la somma assicurata su ogni rischio coperto dal 

trattato si riduce automaticamente nel corso del contratto del danno liquidato dal 

cessionario, ed il riassicurato può ricostituire tale somma pagando un premio 

integrativo, detto reinstatement premium (premio di reintegro), nei limiti delle 

ricostituzioni consentite dalla clausola. 

Riprendendo la schematizzazione adottata precedentemente e facendo riferimento 

questa volta alla somma dei vari risarcimenti, ovvero indicando con N il numero 

aleatorio dei sinistri, con Yi R l’onere del risarcimento per l’i-esimo sinistro a carico 

del riassicuratore, avremo che l’importo totale a carico del riassicuratore sarà pari a: 

Χ 

R 

= 

N 

∑ 

i= 

0 

Υ 

R 

i 

56

Prima di mostrare cosa accade all’esborso aleatorio del cessionario in presenza di una 

clausola di reintegro, occorre fare un passo indietro e introdurre altre definizioni che 

spesso compaiono nei trattati in questione. 

Abbiamo detto, semplificando, che l’ammontare totale a carico del riassicuratore 

sotto quel contratto è dato da X R ed è funzione unicamente della priorità l e della 

portata m specificate nel trattato 41 ; nella realtà assicurativa ci sono ulteriori 

assunzioni che concorrono a tale determinazione, quali ad esempio l’aggregate 

deductible e l’aggregate limit (limite aggregato). 

La prima quantità, che indicheremo con L, è utilizzata qualora il cessionario intenda 

stipulare una copertura excess of loss per una certa classe di rischi ma sia disposto ad 

accettare un certo livello di perdita riferito a quel layer di copertura entro il quale non 

far intervenire la riassicurazione; l’aggregate deductible esprime dunque il valore 

soglia della perdita che il cedente è preparato ad accettare, pur rientrando altrimenti 

nel layer indicato nel contratto, in cambio di una riduzione del premio di 

riassicurazione. 

L’aggregate limit, invece, possiamo dire essere il concetto complementare a quello 

appena esposto, in quanto consiste nel valore soglia, indicato con M, riferito 

all’ammontare complessivo dei risarcimenti a carico del riassicuratore oltre il quale 

ulteriori cessioni ritornano ad essere imputate al riassicurato. 

Sia l’aggregate deductible, L, che l’aggregate limit, M, sono spesso definiti nel 

trattato come multipli rispettivamente delle quantità m ed l che potremmo definire i 

concetti corrispondenti in termini però di singoli risarcimenti. 

Definite queste nozioni, torniamo alla clausola sui reintegri; a tal proposito è utile 

osservare che l’esborso aleatorio del riassicuratore per una copertura m XS l che 

prevede un aggregate deductible pari a L e che consente k reintegri, sarà dato da: 

Χ 

R 

R 

( L, 

M ) = min( 

max( 

Χ − L, 

0) 

, ( k + 1) 

m) 

dove M, l’aggregate limit, è definito pari a (k+1)*m, in quanto il riassicuratore avrà 

un’esposizione massima complessiva pari a quella massima prevista per un singolo 

sinistro, m, a cui si aggiungono i k reintegri concessi dal trattato, pari a k*m. 

Nella maggioranza dei casi, il premio inizialmente richiesto per un trattato di questo 

tipo è commisurato ad una copertura globale pari ad m, e solo successivamente 

saranno computati i premi di reintegro; in particolare, non appena venga superata la 

41 Le due variabili influenzano infatti i valori Yi R . 

57

soglia L, ed il risarcimento del riassicuratore vada a intaccare parte del primo dei k+1 

livelli di copertura contemplati nel trattato, è necessario calcolare il premio di 

reintegro. 

I reintegri possono essere limitati od illimitati, gratuiti o a pagamento; un contratto 

può, ad esempio, prevedere due reintegri gratuiti 42 e due a pagamento. 

Vi sono principalmente due modalità con cui è possibile calcolare il premio di 

reintegro: 

• pro rata amount; 

• pro rata temporis. 

L’applicazione del primo dei due metodi proposti consente di calcolare un premio 

proporzionale alla copertura erosa, mentre con il secondo metodo il premio calcolato 

è proporzionale alla durata residua della copertura riassicurativa. 

Nel dettaglio, la formula per un calcolo del tipo pro rata amount sarà: 

ammontare dei risarcimenti 

pagati dal riassicuratore 

× P 

× c% 

portata del trattato 

dove con c% si è indicata l’aliquota concordata nel trattato, ad esempio il 100% o il 

50%, e con P il premio del trattato di riassicurazione. 

Con l’adozione di un criterio pro rata temporis avremo invece: 

ammontaredei 

risarcimenti 

pagati dal riassicuratore 

× P × numerodi 

giorni alla scadenza 

portata del trattato× 

365 

in cui il premio del trattato di riassicurazione è stato nuovamente indicato con P. 

Prima di illustrare con un esempio quanto detto fin qui, si rileva che generalmente i 

premi di reintegro non sono esplicitamente pagati dall’assicuratore, ma sono detratti 

dai risarcimenti a questo dovuti dal riassicuratore; inoltre, si segnala che, come 

nell’assicurazione di primo livello, anche nella riassicurazione il soggetto cedente il 

rischio è tenuto a versare il premio anticipatamente, sebbene sia usuale che il 

riassicuratore accetti un deposit premium (premio in acconto) che spesso coincide con 

il premio minimo che il cedente dovrà pagare, comunque vadano gli eventi, per quella 

copertura. Il deposit premium ammonta genericamente all’80-90% del premio stimato 

per la copertura e durante il periodo di valenza del trattato, quindi anche negli 

eventuali momenti in cui è necessario calcolare i premi di reintegro, si tende a 

sostituire nelle formule suddette il premio del trattato con questo premio “certo”. 

42 

In questa ipotesi il riassicuratore ha già conteggiato la possibilità di reintegrazione della procedura 

nel computo del premio del trattato. 

58

Esempio 

Poniamoci nella seguente situazione: un trattato del tipo CATXL è stato stipulato con 

pieno catastrofale, cioè la priorità, pari a 600.000, la portata pari a 2.400.000 ed è 

stabilita una clausola che consente un reintegro con aliquota del 50% 43 . Supponiamo 

infine che il deposit premium ammonti a 500.000. 

Lo schema seguente illustra una possibile lettura del trattato, dove sono evidenziate la 

copertura ed il reintegro concordati. 

3.600.000 

3.000.000 

2.400.000 

1.800.000 

1.200.000 

600.000 

0 

Trattato con reinstatment 

Figura 22 – Clausola dei reintegri, step 1 

Ipotizziamo dunque che si realizzi una prima catastrofe, ad esempio un terremoto, che 

provochi danni complessivi per 1.200.000, di cui il riassicuratore dovrà versare 

600.000. La copertura offerta dal trattato si riduce quindi di 600.000, consumati per 

questo primo evento estremo, passando da 2.400.000 a 1.800.000 ed è poi 

immediatamente reintegrata a 2.400.000. Il calcolo del premio di reintegro avviene 

utilizzando il deposit premium come segue: 

600. 

000 

Copertura 

× 

2. 

400. 

000 

500. 

000 

× 50% 

= 

43 Dunque si adotta un metodo di calcolo del tipo pro rata amount. 

Reintegro 

62. 

500 

59

Il riassicuratore dovrà quindi versare al riassicurato: 

600 . 000 − 62. 

500 = 

537. 

500 

Illustriamo il cambiamento intervenuto con il seguente grafico: 

3.600.000 

3.000.000 

2.400.000 

1.800.000 

1.200.000 

600.000 

0 

Sinistro 1 Copertura Reintegro 


Si verifica un secondo evento: un maremoto che provoca danni per 2.100.000; di 

questi il riassicuratore ha a carico 1.500.000. La copertura è perciò ridotta a 900.000 

ed immediatamente reintegrata. Il premio di reintegro ammonta a: 

1. 

500. 

000 

× 

2. 

400. 

000 

500. 

000 

× 50% 

= 156. 

250 

Si assisterà dunque ad un versamento del riassicuratore pari a: 

1 . 500. 

000 − 156. 

250 = 1.343.750 

Infine, supponiamo che un terzo evento catastrofico, un grande incendio ad esempio, 

causi danni per 1.600.000; in questo caso, il riassicuratore avrà a suo carico un 

risarcimento pari a 1.000.000, per cui la copertura inizialmente si ridurrà a 1.400.000 

per essere poi reintegrata. Adesso però una ricostituzione completa non è più 

possibile, in quanto la dotazione di reintegri si esaurisce dopo aver apportato in forza 

60

alla copertura gli ultimi 300.000 disponibili, copertura che passa dunque a 1.700.000, 

valore questo non più incrementabile per tutta la residua durata del trattato. 

Il costo di quest’ultimo reintegro sarà dunque: 

300. 

000 × 500. 

000 

× 50% 

= 31. 

250 

2. 

400. 

000 

ed il riassicuratore dovrà versare all’assicuratore: 

1 . 000. 

000 − 31. 

250 = 968.750 

Si riportano di seguito le illustrazioni grafiche delle modifiche intervenute 

successivamente al verificarsi del secondo e del terzo evento, rispettivamente: 

3.600.000 

3.000.000 

2.400.000 

1.800.000 

1.200.000 

600.000 

0 



61

3.600.000 

3.000.000 

2.400.000 

1.800.000 

1.200.000 

600.000 

4.4 Riassicurazione E.CO.MO.R. 

0 



Abbiamo già analizzato come il fenomeno dell’inflazione possa provocare 

l’incremento degli oneri per risarcimenti dovuti dal riassicuratore e abbiamo 

presentato la clausola di stabilità come un possibile accordo per la ripartizione degli 

incrementi tra cedente e cessionario. In questo paragrafo analizzeremo invece una 

particolare copertura riassicurativa, ancora del tipo non proporzionale, che consente 

di limitare le conseguenze negative suddette e non solo: infatti, il modello che 

presentiamo in questa sezione viene incontro anche all’esigenza del riassicurato di 

tutelarsi, in particolare, contro i più grossi esborsi monetari. 

La copertura riassicurativa in questione è stata introdotta dall’attuario francese A. 

Thépaut nel 1950 con il nome di “Excedent du Cout Moyen Relatif”, o brevemente 

E.CO.MO.R.. Per la sua schematizzazione, occorre far riferimento alla statistica dei 

sinistri ordinata in modo non crescente in base all’ammontare del relativo 

risarcimento. 

62

Indicheremo ancora una volta con N la variabile aleatoria rappresentate il numero dei 

sinistri e con Y quella relativa ai risarcimenti, ma adesso saranno da intendersi riferite 

all’intero portafoglio e non più al singolo contratto 44 . 

Il trattato identifica la priorità con il risarcimento relativo all’m-esimo sinistro della 

statistica ordinata suddetta, trasferendo a carico del riassicuratore i risarcimenti 

eccedenti tale priorità, risarcimenti che, per costruzione del modello, saranno 

associati agli m-1 più grandi sinistri. 

Se consideriamo un portafoglio di contratti omogenei di durata annuale, possiamo 

indicare con: 

Υ ≥ Υ ≥ … ≥ Υ ≥ … ≥ Υ 

1: 

N 2: 

N 

j: 

N 

N: 

N 

i risarcimenti stocastici ordinati degli N sinistri che supponiamo interessino il 

portafoglio oggetto della copertura. 

Avremo quindi che il riassicurato manterrà a suo carico il risarcimento globale 

N 

A 

Χ = ∑ Y j: 

N + mΥm: 

N 

j= 

m+ 

1 

mentre il riassicuratore vedrà trasferirsi il risarcimento globale pari a: 

vale a dire 

Χ 

R 

m 

R 

Χ = ∑ Y j: 

N − mΥm: 

N 

j= 

1 

= 

N 

∑ 

j= 

1 

max 

( Υ − Υ ; 0) 

L’ultima espressione vuole evidenziare come la riassicurazione E.CO.MO.R. possa 

essere letta come una copertura excess of loss in cui il ruolo della priorità è svolto dal 

risarcimento originato dall’m-esimo più grande sinistro; la priorità è dunque una 

variabile aleatoria, non un importo certo, al momento della stipula del trattato, dove 

l’accordo è ricercato solo relativamente al valore di m. 

Questa tipologia di copertura ha incontrato delle difficoltà ad entrare nell’uso comune 

delle imprese di riassicurazione, principalmente a causa della complessità tecnica che 

la caratterizza. Vogliamo qui accennare all’impostazione semplificatrice che lo stesso 

44 

Si fa quindi riferimento all’impostazione collettiva, non più a quella individuale, della teoria del 

rischio. 

j: 

N 

m: 

N 

63

Thépaut propose per il pricing di una E.CO.MO.R che supporremo essere riferita ad 

un portafoglio di assicurazioni omogenee, del tipo property, di durata annuale. 

A posteriori avremo a disposizione gli importi dei risarcimenti dei k sinistri che 

avranno interessato il portafoglio; possiamo dunque costruire la statistica ordinata in 

senso non crescente: 

y 1: 

k ≥ y2: 

k ≥ … ≥ y j: 

k ≥ … ≥ yk: 

k 

Alla stipula del trattato è stato fissato m tale che il risarcimento ym:k rappresenta 

adesso la priorità. Se assumiamo che il risarcimento abbia distribuzione di probabilità 

Y modellabile secondo una distribuzione di Pareto semplice di parametro α, vale a 

dire con funzione di ripartizione 

Υ 

( y) 

F = 1 − y 

−α 

dove y≥1, abbiamo che il premio per il rischio 45 , P, risulta: 

P = Ε 

= 

( m −1) 

R ( Χ ) = ( m −1) 

Ε[ 

Υ | Υ > y ] 

+ ∞ 

y 

∫ 

m: 

k 

y 

1− 

F 

−α 

Υ 

dy 

( y ) 

m: 

k 

= 

( m −1) 

m: 

k 

= 

ym: 

k 

α −1 

Si segnala infine che P è espresso anche in funzione dell’importo ym:k, il quale sarà 

noto solo al termine della copertura. 

45 Per la scomposizione del premio del trattato si veda il paragrafo 5.1. 

64

5. Il Premio 

In questo capitolo daremo una definizione di ciò che intendiamo per premio di 

riassicurazione e descriveremo quelle che sono le metodologie di pricing di tale 

premio. Quando si parla di modelli per la valutazione del premio per la 

riassicurazione dei rami danni, generalmente ci si riferisce alle forme di tipo non 

proporzionale ed alle excess of loss in particolare, in quanto per le forme 

proporzionali i premi di riassicurazione, come detto nel capitolo terzo, sono 

immediatamente ricavabili applicando l’aliquota di cessione ai premi delle 

assicurazioni dirette, considerando inoltre quelle che avevamo definito commissioni 

di riassicurazione. 

Contrariamente a quanto accade per le forme proporzionali, il premio per una 

riassicurazione non proporzionale non è ricavabile direttamente dal premio della 

copertura originale sottostante il trattato; è necessario ricorrere a specifici modelli di 

calcolo. 

Per poter arrivare a calcolare il premio per un contratto di riassicurazione, iniziamo 

con il chiarire cosa si intende con tale denominazione. 

5.1 Scomposizione del premio 

Il premio pagato per una copertura riassicurativa è composto da vari elementi, come 

illustrato nella figura seguente: 

65

Spese 

Fluctuation loading 

Contingency loading 

Premio di rischio 

Figura 26 – Le componenti del premio di riassicurazione 

Delle quattro componenti individuate, la più importante è sicuramente rappresentata 

dal premio di rischio, che consiste nel premio necessario a coprire il costo medio dei 

sinistri nel lungo periodo secondo le condizioni stabilite nel trattato. In altre parole, il 

premio per il rischio altro non è che il valore atteso degli oneri per sinistri a carico del 

riassicuratore. Del modo di calcolare questa fondamentale componente ci occuperemo 

a breve. 

Passando in rassegna le altre parti che compongono il premio di riassicurazione, 

troviamo: 

• il contingency loading: stante il fatto che il premio di rischio è un valore 

stimato e non un importo certo, e in considerazione che spesso nella pratica i 

riassicuratori per poter competere in termini di concorrenza tendono a 

sottostimare tale valore per attrarre, con prezzi inferiori, i possibili riassicurati, 

attraverso questa forma di caricamento, il riassicuratore bilancia i possibili 

effetti di un’inaccurata stima; è usualmente fissato in misura pari al 10% del 

premio di rischio stabilito per quel portafoglio; 

• il fluctuation loading: un ulteriore, distinto caricamento, relativo al costo del 

capitale 46 necessario al mantenimento di un’attività riassicurativa e 

comprendente un margine di profitto 47 ; 

46 E’ talvolta indicato anche come capital loading. 

47 Per questo è noto anche come margin loading. 

66

• le spese: quest’ultima componente include le spese di amministrazione interna 

all’impresa di riassicurazione ma anche i costi a questa esterni, come quelli 

sostenuti per l’attività dei brokers o il pagamento delle tasse. 

Nel computo del premio occorre infine considerare alcuni fattori di natura non 

tecnica, quali i rapporti esistenti tra l’assicuratore ed il riassicuratore 48 , quelli tra le 

imprese e gli intermediari coinvolti nel trattato nonché le condizioni del mercato 

riassicurativo nel suo complesso. 

5.2 Metodi di calcolo del premio di rischio 

Il calcolo più interessante da un punto di vista attuariale resta comunque quello 

relativo al premio di rischio, che da adesso chiameremo semplicemente premio. Per la 

valutazione di quest’ultimo in riferimento a riassicurazioni non proporzionali ed in 

particolare per le excess of loss, due sono le principali modalità, che si concretizzano 

nel ricorso al: 

metodo dell’experience rating; 

metodo dell’exposure rating. 

Il primo metodo si caratterizza per l’impiego di dati statistici riferiti all’esperienza di 

sinistrosità registrata per contratti precedenti, contratti che coinvolgevano rischi di 

natura analoga a quelli che si è interessati a prezzare. Questo metodo può essere 

utilizzato in modo retrospettivo, qualora si intenda adeguare i premi applicati alle 

coperture in scadenza alla sinistrosità registrata, oppure in modo prospettivo, se 

l’impiego è rivolto all’ottenimento di una stima iniziale di un nuovo rischio 

riassicurato. 

Rientra nello schema dell’experience rating il cosiddetto metodo del burning cost 

(costo vivo), cioè del rapporto percentuale sinistri a premi annui di competenza del 

riassicuratore. Questo metodo prevede il calcolo di un’opportuna media dei valori dei 

burning costs registrati dal riassicuratore negli ultimi anni, solitamente cinque, su un 

48 Si pensi a particolari legami societari, come il controllo esercitato da una holding. 

67

portafoglio di rischi riassicurati, attraverso una precedente indicizzazione dei dati 

storici in modo da renderli confrontabili tra loro. 

In particolare, indicando con Sj R , j=1,…,5, i sinistri del riassicuratore indicizzati, 

relativi all’anno j-esimo 49 e con Pj R i corrispondenti premi di competenza a loro volta 

indicizzati, il tasso di premio, τ, resta così individuato: 

τ 

5 

∑ 

j= 

1 

= 5 

∑ 

j= 

1 

Il metodo dell’exposure rating invece, mira a determinare il costo della 

riassicurazione ripartendo tra assicuratore e riassicuratore i premi dell’assicurazione 

diretta, al netto dei vari caricamenti per spese e dei costi di eventuali precedenti 

riassicurazioni, in funzione dell’effettiva esposizione di entrambe le parti. Possiamo 

quindi affermare che questa metodologia ripercorre la linea tracciata dal metodo di 

calcolo del premio per le forme proporzionali, che prevedeva appunto la ripartizione 

del premio in considerazione della quota di esposizione dei soggetti coinvolti. 

Con l’exposure rating l’aliquota di premio riconosciuta al riassicuratore terrà conto 

della differenza esistente tra la distribuzione degli importi di un sinistro e la 

distribuzione dei massimali di garanzia, nel caso di assicurazioni di responsabilità 

civile, o quella dei valori assicurati, nel caso di assicurazioni di danni a beni di 

proprietà. Per quanto detto, un assicuratore che ha contratto una riassicurazione che 

prevede una priorità pari al 50% del massimale, esemplificando il caso di 

assicurazioni di responsabilità civile, dovrà cedere un’aliquota di premio al 

riassicuratore certamente inferiore al 50%. 

Nella prassi esistono principalmente due modalità con le quali è possibile effettuare 

questa ripartizione dei premi, vale a dire utilizzando le: 

• first loss scales; 

• exposure curves. 

49 Cioè all’anno di calendario che precede di j anni quello in corso. 

S 

P 

R 

j 

R 

j 

68

Sono note come first loss scales specifiche tavole, costruite grazie ai dati raccolti 

congiuntamente da assicuratori e riassicuratori, aventi lo scopo di stabilire l’aliquota 

di premio di pertinenza dei soggetti coinvolti per ciascun valore della fissata priorità, 

che sarà espressa in percentuale del valore assicurato, nel caso di rischi property, o 

del massimale assicurato, nel caso si tratti di assicurazioni di responsabilità civile. 

Qualora inoltre la garanzia preveda un limite alla portata del riassicuratore, l’aliquota 

del premio spettante al riassicuratore sarà ottenuta come differenza tra la quota 

corrispondente alla somma della portata e della priorità e quella che le tavole 

associano alla sola priorità. Un’ultima osservazione in merito alle first loss scales: 

queste tavole variano non solo in funzione della categoria dei rischi assicurati ma 

anche, essendo basate su dati statistici raccolti dagli interessati, da riassicuratore a 


L’altra modalità, attraverso la quale è possibile suddividere tra le parti coinvolte il 

premio secondo un criterio basato sull’effettiva esposizione, trova fondamento su una 

particolare tipologia di diagrammi, le cosiddette exposure curves. Queste curve, che 

giacciono nel primo quadrante del piano cartesiano, forniscono l’aliquota di premio 

che l’assicuratore deve trattenere in funzione dei valori riportati sull’asse delle ascisse 

e cioè in funzione del valore percentuale assunto dal rapporto tra la priorità ed il 

massimale di garanzia o il valore assicurato 50 . 

Si segnala inoltre che le exposure curves sono sempre collocate, per loro costruzione, 

sopra la bisettrice principale o al massimo possono sovrapporsi ad essa. In 

quest’ultima ipotesi saremmo in presenza di una situazione riassicurativa che 

prevede, eccezionalmente, la ripartizione proporzionale dei premi in base al rischio 

assunto. All’opposto possiamo dire che all’aumento della concavità verso il basso di 

dette curve, corrisponde una crescente incidenza di sinistri di importo non totale, cioè 

inferiore al massimale di garanzia o al valore assicurato 51 . 

Un metodo alternativo alle due principali tipologie presentate, experience ed exposure 

rating, è quello adottato nella prassi per il pricing delle CATXL, che si basa su due 

valori: il payback period ed il rate on line. Quest’ultimo è ottenuto rapportando alla 

50 

La distinzione è ancora una volta relativa al caso di assicurazioni property e assicurazioni di 

responsabilità civile. 

51 

Vedi nota precedente. 

69

portata globale del trattato, che supponiamo di durata annuale, i premi annui. Il 

reciproco di questo rapporto indica il numero di anni necessari a recuperare, 

attraverso l’introito di premi costanti, il cosiddetto sinistro globale 52 e prende appunto 

il nome di payback period (periodo di recupero). 

Infine, un modello che può essere utilizzato in congiunzione sia con l’experience sia 

con l’exposure rating: il modello di Pareto; a questo interessante modello è dedicato 

il capitolo successivo. 

52 Un sinistro che provoca al riassicuratore un esborso eguale alla portata globale del trattato. 

70

6. Il modello di Pareto 

6.1 Definizione e costruzione del modello 

Nel paragrafo 5.2, descrivendo i diversi metodi di calcolo utilizzati per il rating delle 

coperture riassicurative, abbiamo chiarito che sono principalmente due gli approcci 

disponibili, il cui impiego è condizionato dalla tipologia di informazioni a 

disposizione: dati riferiti ad eventi passati (experience rating) oppure caratteristiche e 

composizione del portafoglio corrente (exposure rating). 

Il modello in esame, come anticipato nel paragrafo precedente, può essere utilizzato 

in congiunzione con entrambi i suddetti metodi, nel senso che se i dati a disposizione 

fanno riferimento esclusivamente ai sinistri accaduti in passato nel portafoglio 

oggetto dell’attuale trattato, rientra tra i metodi dell’experience rating, mentre se nel 

calcolo vengono tenute in considerazione anche le caratteristiche del portafoglio allo 

scopo di adattare maggiormente i dati storici, allora l’impiego del modello è letto 

secondo un metodo di exposure rating. 

Il modello che abbiamo sin qui descritto è noto come modello di Pareto ed è spesso 

utilizzato per stimare il premio di rischio per trattati excess of loss che presentano 

un’alta priorità, di conseguenza l’esperienza di sinistrosità è scarsa e potrebbe perciò 

risultare fuorviante. 

La necessità di un modello matematico per la stima del premio di rischio di un trattato 

excess of loss nasce in quanto le coperture di questo tipo sono raramente 

contraddistinte da un burning cost particolarmente stabile, che permetterebbe di 

procedere al pricing sulla base unicamente dei sinistri accaduti, certi di una loro 

“costanza” nel tempo. Un modello matematico consente invece un’astrazione più o 

meno semplificatrice della realtà, effettuata adattando i dati a disposizione attraverso i 

parametri caratteristici del modello stesso. 

Uno dei modelli più utilizzati per il rating delle riassicurazioni XL, grazie alla sua 

semplicità d’impiego ed alla sua efficacia, è appunto il modello di Pareto, che consta 

di un unico parametro che chiameremo α. 

71

Nel seguito, alterneremo nozioni teoriche ad implementazioni pratiche per meglio 

chiarire la procedura di pricing secondo il modello oggetto della nostra analisi. 

In quest’ottica, presentiamo nella tabella seguente dati storici relativi all’esperienza di 

sinistrosità registrata in tre anni successivi per un contratto di riassicurazione stipulato 

da una compagnia di assicurazione italiana 53 ; la tabella riporta anche i valori che si 

registreranno al termine del quarto anno di copertura. Si segnala inoltre che gli 

importi sono indicati in migliaia di lire italiane e sono indicizzati per essere impiegati 

con riferimento al quarto anno; in particolare, questo comporta che, essendo 

interessati a sinistri di entità superiore a 50.000, dovremo ricalcolare questa soglia, 

che possiamo caratterizzare fin da adesso come observation point (punto di 

osservazione) o OP, per gli anni precedenti, nel modo che segue: 

50.000 : 119.0 = soglia adeguata riferita all’anno xy : valore indice anno xy 

in quanto il valore dell’indice al quarto anno è pari a 119.0. 

Sinistri dell’anno 1 

eccedenti la soglia di 

46.471 

Indice 

110,6 


119,0 



47.563 


113,2 


117,4 



49.328 


119,0 


119,0 



50.000 

Indice 119,0 

60.800,0 65.417,7 91.000,0 60.690,0 61.517,1 95.662,5 84.000,0 

55.640,0 59.865,8 165.500,0 60.380,0 61.202,9 173.979,7 148.050,0 

98.800,0 106.303,8 101.460,0 60.690,0 61.517,1 106.658,5 84.090,0 

54.250,0 58.370,3 76.500,0 87.000,0 88.185,7 80.419,6 66.500,0 

167.700,0 180.436,7 53.000,0 63.000,0 63.858,6 55.715,5 66.400,0 

80.000,0 86.075,9 - 132.200,0 134.001,7 - 177.550,0 

112.520,0 121.065,8 - - - - 71.000,0 

126.000,0 135.569,6 - - - - 85.000,0 

- - - - - - 61.000,0 

- - - - - - 63.100,0 

53 

I dati riportati nella figura 27 sono ripresi dalla pubblicazione della Swiss Re, ad opera di Schmitter 

H. e Butikofer P., citata in bibliografia. 

72

- - - - - - 58.000,0 

Figura 27 – Dati storici di sinistrosità 

Con riferimento alla sinistrosità registrata nei primi tre anni, possiamo rappresentare 

la distribuzione dei sinistri indicizzati adottando, ad esempio, le cinque classi 

riportate nella tabella seguente, a cui abbiamo associato il corrispondente grafico: 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

50.000-79.999 

8 sinistri 

80.000-109.999 6 sinistri 

110.000-139.999 3 sinistri 

140.000-169.999 0 sinistri 

170.000-199.999 2 sinistri 

50.000 80.000 110.000 140.000 170.000 200.000 

Figura 28 – Una rappresentazione della sinistrosità storica 

Ciò che si è rappresentato dipende però fortemente dalla scelta arbitraria operata nella 

suddivisione in classi; per evitare questa soggettività della rappresentazione, 

presentiamo un metodo che non risente di scelte opinabili: si ordinano i sinistri 

registrati nei tre anni dal più piccolo al più grande e si dispongono in quest’ordine a 

73

giacere sull’asse delle ascisse. Il risultato avrà una forma caratteristica, detta a 

gradini, mostrata nella figura 29. 

Numero dei sinistri 

19 

17 

15 

13 

11 

9 

7 

5 

3 

1 

- 100.000 200.000 

Importo dei sinistri 

Figura 29 – Grafico a gradini 

Il grafico suesposto permette di visualizzare quanti sinistri non hanno ecceduto un 

fissato livello; nell’esempio abbiamo tracciato la linea verticale al valore 100.000 e 

dall’asse delle ordinate ricaviamo che sono stati 12 su 19 i sinistri che hanno 

comportato un esborso minore di tale importo. Una rappresentazione dal significato 

analogo si ha indicando sull’asse delle y il numero dei sinistri in termini percentuali, 

come nel grafico che segue: 

74

Figura 30 – Funzione di distribuzione empirica 

Un grafico di questo tipo prende il nome di funzione di distribuzione empirica: 

all’aumentare del numero delle osservazioni, diminuirà “l’altezza dei gradini” e se 

ipotizziamo di raggiungere una dimensione campionaria tendente all’infinito, 

otterremo una curva liscia. E’ qui che entra in gioco il modello matematico, il quale ci 

permette di costruire ugualmente una curva necessitando però unicamente dei dati a 

disposizione ed approssimando il più possibile, attraverso la gestione dei propri 

parametri, la curva a tali dati; i modelli di questo tipo prendono il nome di funzioni di 

distribuzione, ed il modello di Pareto è uno di questi. 

Per ottenere una curva che sia in grado di sostituire i gradini, occorre conoscere il 

punto di partenza e la ripidezza degli stessi. Nel nostro esempio abbiamo considerato 

sinistri di entità non inferiore a 50.000. Per quanto riguarda la ripidezza, questa deve 

essere modellata attraverso l’impiego del parametro α. 

Prima di riferire circa la procedura per ottenere il valore “migliore” per questo 

parametro, è opportuno chiarire cosa intendiamo con distribuzione di Pareto. 

75

Sinistri, che eccedono la soglia OP, hanno distribuzione di Pareto di parametro α, se 

la probabilità che un sinistro X sia compreso nell’intervallo infinitesimale x≤X≤x+dx 

è pari a: 

α ⋅OP 

α 

⋅ x 

−α 

−1 

il che equivale a richiedere che la funzione di densità dei sinistri sia data da: 

dx 

α 

f ( x) 

= α ⋅ OP ⋅ x 

−α 

−1 

Con funzione di distribuzione di Pareto indicheremo quindi la funzione così definita: 

F 

( x) 

P( 

Χ ≤ x) 

= = ∫ 

x 

α 

α −α 

−1 

⎡OP⎤ 

α ⋅ OP ⋅ y dy = 1− 

⎢ ⎥ 

⎣ x 

OP 

⎦ 

dove OP, che per quanto detto in precedenza è il punto di osservazione, deve risultare 

00. 

Il grafico seguente illustra la funzione di distribuzione di Pareto per tre valori del 

parametro α, in particolare la curva gialla corrisponde ad α pari a 0,2, la blu ad α pari 

a 1 ed infine la curva rossa è tracciata con α=1,77. 

Figura 31 – Funzioni di distribuzione di Pareto per differenti α 

Vediamo adesso come è possibile stimare il parametro di Pareto, α. Assumendo di 

avere a disposizione n sinistri, x1,…,xn, che eccedono OP, il parametro α che meglio 

approssima la funzione di distribuzione empirica definita dalla statistica a 

disposizione, è ricavabile attraverso la stima di massima verosimiglianza come segue: 

76

ˆα = 

n 

∑ 

i= 

1 

ln 

n 

= 

( xi 

) − nln( 

OP) 

∑ 

n 

i= 

1 

n 

⎛ xi 

ln⎜ 

⎝ OP 

Nel nostro caso, la stima di α fornisce un valore del parametro pari a 1,77, la cui 

distribuzione di Pareto corrispondente è stata raffigurata in rosso nel precedente 

grafico. Nell’esempio, per quanto detto, avremo dunque che la probabilità che la 

perdita derivante da un sinistro sia inferiore o uguale ad un importo x sarà pari a: 

P 

( Χ ≤ x) 

⎡50 

= 1− 

⎢ 

⎣ x 

. 000 

In realtà dobbiamo fare attenzione al fatto che, avendo assunto OP pari a 50.000, 

niente è noto in riferimento ad i sinistri di importo inferiore, per cui la probabilità 

rappresentata è più propriamente la probabilità che un sinistro, la cui perdita 

sappiamo eccedere il valore di 50.000, provochi danni non inferiori all’importo x. 

Alcune osservazioni: 

• l’observation point o OP definisce il più piccolo sinistro preso in 

considerazione dell’analisi del modello e, nel pricing di trattati excess of loss, 

coincide spesso con la priorità o altrimenti con il più piccolo sinistro 

registrato; 

• è stato osservato che il parametro di Pareto, α, statisticamente assume valori 

differenti a seconda delle classi di rischio trattate, in particolare per descrivere 

distribuzioni del rischio incendi varia spesso tra 1,5 e 2,5, mentre per la 

modellizzazione di sinistri catastrofici il suo valore è circa 1 (o anche minore, 

quindi tra 0 e 1). 

Il passo successivo nella costruzione di un modello capace di rappresentare la 

struttura di un trattato XL consiste nel riprodurre l’effetto che si genera con 

l’introduzione di una portata sulla funzione di distribuzione; per far questo, si ricorre 

all’utilizzo della cosiddetta funzione di distribuzione troncata, ottenuta assegnando 

probabilità pari ad 1 all’eventualità che il sinistro sia inferiore all’ammontare 

massimo stabilito. In particolare, per il modello di Pareto la funzione di distribuzione 

troncata sarà data da: 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1. 

77 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

77

F 

( x) 

α ⎧ ⎡OP⎤ 

⎪1 

− 

⎢ ⎥ 

se OP ≤ x < EP 

⎪ ⎣ x ⎦ 

= ⎨ 

⎪ 1 se x ≥ EP 

⎪ 

⎩ 

in cui si è indicato con EP, acronimo di exit point, il valore raggiunto sommando alla 

priorità, che indicheremo con DE, la portata del trattato, che chiameremo CO, cioè il 

valore oltre il quale il trattato non offre copertura. 

Il grafico seguente mostra la funzione di distribuzione empirica, troncata al valore di 

EP=120.000, a cui si è sovrapposta la curva di Pareto che modella tale distribuzione e 

che corrisponde alla funzione di distribuzione troncata. 

Figura 32 – Funzione di distribuzione di Pareto troncata 

Obiettivo della nostra analisi è il calcolo del premio di rischio, che è dato da: 

Premio di rischio = 

frequenza 

attesa 

x 

sinistri 

attesi 

dove, per un trattato di riassicurazione excess of loss, per sinistri attesi si intende il 

valore atteso di un sinistro trasferito al riassicuratore; il premio di rischio, secondo un 

principio di equità, corrisponde quindi al valore atteso del complesso dei sinistri 

ceduti in forza del trattato. 

78

Procederemo quindi in tre step successivi, il primo volto a stimare la frequenza di 

sinistrosità prevista per il portafoglio, il secondo avente lo scopo di ottenere la stima 

dell’importo medio di un sinistro; infine si ricaverà il premio di rischio moltiplicando 

i valori ottenuti. 

L’obiettivo finale sarà quello di calcolare il premio di una riassicurazione excess of 

loss con priorità, DE, pari a 100.000 e portata, o CO, anch’essa pari a 100.000, per il 

quarto anno di copertura del portafoglio la cui sinistrosità è stata rappresentata nella 

figura 27. 

6.2 Stima della frequenza di sinistrosità del portafoglio 

Per frequenza intendiamo il numero medio di sinistri registrati in ciascun anno di 

contratto sul portafoglio riassicurato; si sottolinea che molto spesso si ipotizza di 

conoscere la frequenza ad un particolare punto della distribuzione, chiamato low 

deductible 54 , e si procede poi alla stima della frequenza, questa invece non nota, dei 

sinistri eccedenti un qualsiasi deductible, che generalmente è definito high deductible 

per distinguerlo dal precedente valore. Quest’ultimo passaggio si può compiere a 

livello grafico, utilizzando una curva del tipo rappresentato nella figura 31, oppure, ed 

è ciò che sarà presentato nel seguito, ricorrendo ad opportune formule. 

Proseguendo nel nostro esempio numerico, vogliamo adesso mostrare come sia 

possibile ricavare una frequenza iniziale per il low deductible. Per far ciò, sono 

necessari altri dati storici, relativi al cosiddetto gross net premium income, 

brevemente GNPI, che indica il premio (perciò premium) che rimane nella 

disponibilità dell’assicuratore diretto (quindi income) prima della detrazione delle 

spese di acquisizione e dei costi di gestione (da qui gross) e dopo aver sottratto tutti i 

premi per le coperture riassicurative di tipo proporzionale (da ciò net). I dati necessari 

alla nostra analisi, sono riportati nella tabella seguente: 

54 Ovvero si ipotizza di conoscere il numero medio annuo dei sinistri non eccedenti il low deductible. 

79

Anno Indice GNPI GNPI indicizzato Numero di sinistri eccedenti 50.000 

1 110,6 4.630.000 4.981.646 8 

2 113,2 5.110.000 5.371.820 5 

3 117,4 5.690.000 5.767.547 6 

1-3 16.121.013 19 

4 119,0 6.250.000 6.250.000 N l 

ˆ 

Figura 33 – GNPI 

Nella tabella si è indicato con N il valore della stima, da calcolare, relativa ai sinistri 

ˆ 

che nel quarto anno di copertura eccedono la soglia di 50.000. 

l 

Nell’ipotesi che il portafoglio non abbia subito modifiche sostanziali, tale valore è 

dato da: 

N ˆ 

l = 

numero totale sinistri anni passati 

GNPI totale anni passati 

x nuovo 

GNPI 

Ricordando che il numero totale dei sinistri richiesto dalla formula fa riferimento 

naturalmente a quelli eccedenti la soglia di 50.000 che abbiamo fissato come low 

deductible, nel nostro caso la stima sarà pari a: 

19 

N ˆ 

l = × 6. 

250. 

000 = 

16. 

121. 

013 

7, 

37 

Partendo da questo dato, che possiamo reputare sufficientemente affidabile dato il 

numero non troppo piccolo di sinistri che giacciono sotto il valore soglia prescelto, 

occorre estrapolare adesso la frequenza attesa considerando la portata di 100.000. 

In generale, la frequenza ad un arbitrario punto x, con x≥OP 55 , è ricavabile tramite la 

seguente espressione: 

( x) 

= freq( 

OP) 

⋅ P( 

X > x) 

= freq( 

OP) 

⋅( 

− F( 

x) 

) = freq( 

OP) 

freq 1 

α 

⎛ OP ⎞ 

⋅⎜ 

⎟ 

⎝ x ⎠ 

55 In realtà, il procedimento illustrato è matematicamente applicabile anche nel caso in cui sia x

Poiché nel nostro caso è freq(OP)= N =7,37, α=1.77 e x=100.000, abbiamo che 

ˆ 

freq 

l 

( 100. 000) 

= 7, 

37 ⋅ P( 

X > 100. 

000) 

= 7, 

37 ⋅ ( 1− 

F( 

100. 

000) 

) = 

= 

7, 

37 

⎛ 

⋅⎜ 

⎝ 

50. 

000 

100. 

000 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1, 

77 

= 

2, 

1609 

Prima di procedere al secondo step ai fini del calcolo del premio di rischio, sembra 

opportuno effettuare ancora due osservazioni sulla stima della frequenza: 

• nel caso che la frequenza da stimare sia relativa ad eventi catastrofici, spesso 

si ricorre a fonti diverse dalla sola sinistrosità storica del portafoglio oggetto 

del pricing, tipicamente povera, in termini di consistenza numerica, per la 

natura stessa degli eventi trattati; in particolare, si può far uso delle statistiche 

di mercato, se disponibili, inerenti quel settore: ad esempio, se si rileva che un 

terremoto colpisce una certa zona e provoca danni non inferiori al 2‰ una 

volta ogni 20 anni, possiamo assumere il valore 2‰ come low deductible, a 

cui corrisponde la frequenza di (1/20)=0,05 e da questi dati, con la procedura 

illustrata in precedenza, è possibile estrapolare la frequenza stimata per un 

qualsiasi high deductible; 

• come accennato precedentemente, in alternativa alle formule proposte, 

potevamo ricavare la stima della frequenza impiegando il grafico di figura 31; 

senza entrare nel merito, vogliamo unicamente evidenziare come varia la 

distribuzione di Pareto al variare del relativo parametro: si può notare 57 che 

più piccolo è α, più alta sarà la frequenza dei grossi sinistri in relazione a 

quella di sinistri di piccola entità. 

6.3 Stima del valore atteso del sinistro 

Per introdurre questo secondo step, torniamo a riconsiderare il grafico illustrato nella 

figura 29: l’area coperta dai sinistri rappresenta naturalmente il totale dei sinistri 

56 

I calcoli sono effettuati arrotondando alla quarta cifra decimale. 

57 

Direttamente dall’andamento delle curve per i diversi valori del parametro, curve che ricordiamo 

P Χ ≤ x . 

rappresentano la ( ) 

56 : 

81

osservati e dunque, volendo calcolare il sinistro medio, occorrerebbe dividere tale 

area per il numero totale dei sinistri, che nel nostro esempio è pari a 19. 

Se invece del grafico a gradini riprendiamo la funzione di ripartizione empirica, 

rappresentata nella figura 30, il valore medio del sinistro coinciderà adesso con l’area 

colorata; considerazioni analoghe sono valide sia per la distribuzione troncata sia 

quindi per la distribuzione troncata di Pareto Di conseguenza, ricollegandoci 

all’esempio grafico proposto in precedenza, sarà l’area che giace sopra la curva 

disegnata in figura 32 a rappresentare il valore atteso dei sinistri troncati per una 

copertura eccesso di sinistri con EP=120.000. 

Anche in questo caso è possibile attribuire un significato immediato al parametro di 

Pareto in relazione al contesto di analisi: è evidente che, per quanto detto, il valore 

atteso dipende dalla forma della curva, vale a dire che più bassa è la curva, più grande 

sarà il valore atteso, e poiché una curva più bassa è originata da un parametro α più 

piccolo, possiamo concludere che più piccolo è α, più grande sarà la stima del valor 

medio dei sinistri. 

Estraniandoci per un momento dal nostro esempio numerico guida 58 , torniamo ad 

interessarci, per coerenza con il supporto grafico utilizzato nei paragrafi precedenti, di 

una copertura che preveda un EP pari a 120.000 e supponiamo che DE sia fissato nel 

valore di 50.000. Il valore atteso di un sinistro sarà dunque rappresentato dall’area 

colorata della funzione di distribuzione empirica, o brevemente f.d.e., raffigurata di 

seguito. 

58 Quello cioè che ci porterà a calcolare il premio per una 100.000 XS 100.000. 

82

Figura 34 – Rappresentazione del valore atteso tramite la f.d.e. 

Se invece consideriamo la funzione distribuzione, o f.d., di Pareto, la speranza 

matematica di un sinistro oggetto del trattato sarà pari all’area che sovrasta la curva 

presentata nella figura successiva, delimitata dal perimetro della f.d.e., vale a dire al 

valore dagli assi verticali ai valori di 50.000, il DE, e di 120.000, l’EP, nonché 

dall’asse orizzontale al corrispondente al 100%. 

Figura 35 – Rappresentazione del valore atteso tramite la f.d. di Pareto. 

83

Generalizzando, è quindi possibile calcolare il valore atteso del sinistro oggetto del 

trattato dati il parametro α, il deductible, DE, e la portata, CO. Infatti, poichè con EP 

avevamo indicato il valore oltre il quale non agisce la copertura riassicurativa, cioè il 

valore dato da DE+CO, se adesso definiamo l’indicatore dell’ampiezza relativa del 

layer come: 

DE + CO 

RL = = 

CO 

potremo indicare con EL il valore atteso di un sinistro ed esprimere questa quantità in 

EP 

CO 

forma chiusa; vediamo di descrivere adesso la procedura per ricavare questa formula. 

Nel caso di una copertura DE XS CO, per i sinistri x compresi tra DE ed EP, 

l’eccesso di sinistro, a carico del riassicuratore, è pari a x − DE , mentre per i sinistri 

il cui ammontare eccede EP; l’esborso monetario a carico del cessionario equivale a 

CO. Perciò, possiamo calcolare il valore atteso dei sinistri ceduti come: 

EL = 

EP 

che risulta essere: 

oppure 

( x − DE) 

α −α 

− 

∫ ⋅α 

⋅OP 

⋅ x dx + ∫ 

DE EP 

DE 

EL = ⋅ 

1− 

α 

∞ 

1 α −α 

−1 

CO⋅α 

⋅OP 

1−α 

( RL −1) 

seα 

≠ 1 

( RL) 

se 1 

EL = DE ⋅ln 

α = 

Tornando infine al nostro esempio guida, avevamo α=1,77, priorità pari a 100.000 e 

portata anch’essa pari a 100.000. Avremo dunque che: 

RL = 

100. 

000 

+ 

100. 

000 

100. 

000 

= 

200. 

000 

100. 

000 

= 2 

ed essendo α≠1, la stima per valor medio del sinistro ceduto sarà: 

. 000 

EL = 

1−1, 

77 

100 77 

1−1, 

( 2 −1) 

= 53. 

714, 

2857 

⋅ x 

dx 

84

6.4 Stima del premio di rischio 

Avendo imparato a stimare il valore medio della frequenza e quello del sinistro 

ceduto, possiamo adesso calcolare il premio di rischio, che coincide con il valore 

atteso del complesso dei sinistri ceduti e sarà dato da: 

Premio di rischio = numero sinistri attesi x valore atteso sinistro 

Riprendendo la simbologia utilizzata nei paragrafi precedenti, il premio di rischio, 

che indicheremo con RP, sarà ottenuto mediante la formula: 

ovvero tramite l’espressione: 

oppure 

RP = freq 

( OP) 

( DE) 

EL 

RP = freq ⋅ 

α 

⎛ OP ⎞ 

⋅⎜ 

⎟ 

⎝ DE ⎠ 

⋅ 

DE 

( 1− 

α ) 

⋅ 

( ) 1 se 1 

1−α 

RL − α ≠ 

OP 

RP = freq 

α 

DE 

( OP) 

⋅ ⋅ DE ⋅ln 

( RL) 

= freq( 

OP) 

⋅OP 

⋅ln( 

RL) 

se = 1 

In riferimento alla copertura di 100.000 XS 100.000, possiamo infine calcolare la 

stima del premio di rischio, che risulta pari a 59 : 

RP = 2 , 1609⋅ 

53. 

714, 

2857 = 116. 

071 

Per testare la bontà delle stime effettuate, confrontiamo adesso questo valore con 

l’effettivo risarcimento, a carico del riassicuratore, che si è prodotto nel quarto anno 

di contratto. In forza dei dati di sinistrosità che avevamo anticipato nella tabella 

riportata in figura 27, ed in considerazione della copertura 100.000 XS 100.000, 

avremo: 


eccedenti la soglia di 50.000 

Importi a carico 

dell’assicuratore 

Importi a carico del 

riassicuratore 

84.000 84.000 0 

148.050 100.000 48.050,0 

59 Questa volta il risultato è stato arrotondato all’unità per mere ragioni espositive. 

85

84.090 84.090 0 

66.500 66.500 0 

66.400 66.400 0 

177.550 100.000 77.550,0 

71.000 71.000 0 

85.000 85.000 0 

61.000 61.000 0 

63.100 63.100 0 

58.000 58.000 0 

Figura 36 – Ripartizione effettiva dei sinistri 

125.600 

Dunque a fronte del premio da noi stimato per il contratto di copertura pari a 116.071, 

la sinistrosità effettiva che produce oneri per il cessionario ammonta a 125.600; la 

differenza tra i due valori, inferiore a 10.000, presumendo che il modello adottato e le 

ipotesi ad esso correlate siano corrette, è da imputarsi all’impossibilità oggettiva di 

predire con esattezza gli eventi futuri, in questo caso i sinistri ceduti, da cui consegue 

un’incapacità altrettanto oggettiva delle stime di eguagliare puntualmente quelli che 

saranno gli effettivi risultati, incapacità che genera quell’incertezza che è alla base 

stessa dell’esistenza dell’attività assicurativa. 

6.5 Estrapolazione del premio di rischio per ulteriori layers 

Nei paragrafi precedenti abbiamo illustrato una procedura che consente di stimare il 

premio di rischio di un trattato excess of loss, per un layer qualunque. Nella pratica 

riassicurativa però, molto spesso, una volta che sono noti il parametro del modello di 

Pareto e il premio di rischio per un determinato layer, la determinazione del premio 

per il rischio di un qualsiasi altro layer riferito a quel portafoglio, non è effettuata 

andando ad ripercorre gli steps illustrati ma viene attribuita automaticamente 

attraverso una formula chiusa. In definitiva, possiamo affermare che è prassi ricorrere 

all’estrapolazione del premio di rischio in maniera diretta, nel modo che illustreremo 

86

tra breve, senza ricorrere alla stima della frequenza e del valore medio del sinistro, 

non appena sia noto il costo di una copertura riassicurativa dello stesso portafoglio 

seppure con DE e CO diversi. 

In particolare, la formula usualmente impiegata a questo scopo è la seguente: 

ln( 

RL1 

) 

RP 1 = ⋅ RP0 

seα 

= 1 

ln RL 

oppure 

RP 

DE 

DE 

( ) 

0 

( 1−α 

) ( RL1 

−1) 

( 1 α ) 

( RL −1) 

0 

1 = ⋅ α 

− 

⎛ DE ⎞ 1 

0 

⎜ 

⎝ DE 

0 

1 

⎟ 

⎠ 

⋅ RP seα 

≠ 1 

dove la simbologia utilizzata è la medesima di quella presentata in precedenza, con la 

sola eccezione dei pedici che distinguono il layer di cui abbiamo effettuato il pricing 

in via analitica secondo la procedura illustrata nei paragrafi precedenti, pedice 0, da 

quello per il quale stiamo estrapolando il premio di rischio, pedice 1. 

Illustriamo di seguito un esempio dove confrontiamo i due procedimenti proposti. 

Esempio 

Riprendiamo l’esemplificazione che ci ha guidati verso la stima del premio del 

trattato stipulato da una compagnia di assicurazioni italiana, dove avevamo: 

DE0 

100.000 

CO0 

100.000 

RL0 

2 

OP0 

50.000 

freq(OP) 7,37 

α 1,77 

RP0 

116.071 

Figura 37 – Tabella dati 

Supponiamo adesso di essere interessati al pricing del layer 500.000 XS 500.000 e 

confrontiamo i risultati dei due metodi per la stima o l’estrapolazione del premio. 

0 

87

Cominciamo con il metodo in tre steps, calcolando anzitutto la frequenza del high 

deductible, pari a 500.000, supponendo data la frequenza del low deductible, 50.000, 

pari a 7,37; avremo dunque: 

freq 

( 500. 000) 

= freq( 

50. 

000) 

⋅ P( 

X > 500. 

000) 

= 7, 

37 ⋅ ( 1− 

F( 

500. 

000) 

) = 

= 

7, 

37 

⎛ 

⋅ ⎜ 

⎝ 

50. 

000 

500. 

000 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

1, 

77 

= 

0, 

1252 

Il secondo passaggio prevede la stima del costo medio del sinistro per il 

riassicuratore; il valore cercato, indicato con EL1 è pari a: 

essendo 

EL 

1 

1 = ⋅ 

1− 

α RL 

DE 

RL 

1 

1−α 

500. 

000 1−1, 

77 

( −1) 

= ⋅( 

2 −1) 

= 268. 

560, 

1 

= 

1 

500. 

000 

+ 

500. 

000 

Infine, il premio per il rischio sarà dato da: 

1 

1−1, 

77 

500. 

000 

= 

1. 

000. 

000 

500. 

000 

= 2 

( DE ) ⋅ = 0, 

1252⋅ 

268. 

560, 

1 = 33. 

623, 

72 

RP = freq EL 

1 

1 

Confrontiamo adesso questo risultato con quello che otterremmo applicando 

direttamente il metodo dell’estrapolazione del premio tramite le informazioni relative 

ad un primo 60 layer, vale a dire con: 

DE 

1 

( 1−α 

) ( RL1 

−1) 

( 1 ) 

DE0 

RP1 = ⋅ α 

−α 

⎛ DE ⎞ 1 

0 

⎜ 

⎟ 

⎝ DE0 

⎠ 

500. 

000 

100. 

000 

⎛ 500. 

000 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 100. 

000 ⎠ 

= ⋅ 1 , 77 − 

( 1−1, 

77) 

( 2 −1) 

( 1 1, 

77) 

( 2 −1) 

( RL −1) 

⋅ RP 

⋅116. 

071 = 

0 

= 

33. 

613, 

74 

Si sottolinea quanto sia piccola la differenza tra i risultati forniti dai due metodi, 

differenza in parte imputabile anche ad errori di approssimazione. 

60 Con primo layer non intendiamo necessariamente riferirci al cosiddetto working layer, ma 

semplicemente ad un qualsiasi altro layer per il quale sia stato calcolato con il metodo della stima in tre 

successivi steps il premio per il rischio. 

88

7. Conclusioni 

Nell’esposizione si è cercato di presentare i vari aspetti delle diverse forme 

riassicurative, soffermandoci maggiormente su quelle di natura non proporzionale, in 

quanto i metodi utilizzati per il calcolo dei relativi premi presentano spunti di grande 

interesse per chi opera nel campo attuariale. Come precisato nel capitolo 5, l’interesse 

è principalmente rivolto alla quantificazione del premio di rischio, cioè di quella 

componente del premio riassicurativo che rappresenta il valore atteso degli oneri per 

sinistri a carico del riassicuratore. 

In merito a ciò, si è descritto nei dettagli il cosiddetto modello di Pareto, un modello 

che può essere utilizzato in congiunzione sia con l’exposure rating sia con 

l’experience rating, e si è illustrato, anche attraverso lo svolgimento di un esempio 

guida, come sia possibile effettuare il pricing di una copertura excess of loss. 

Nel testo si è cercato di prestare particolare attenzione anche all’aspetto pratico dei 

temi proposti: è in quest’ottica, infatti, che i vari argomenti sono stati corredati da 

esemplificazioni, ed è con questa finalità che è stata inserita un’appendice dove è 

proposta una procedura Maple in grado di effettuare automaticamente, una volta 

inseriti gli inputs, la stima del premio di rischio per una riassicurazione excess of loss 

secondo il modello di Pareto. 

89

Appendice 1: Procedura Maple 

Modello di Pareto 

Cominciamo dando il comando di restart di Maple: 

[>restart; 

Iniziamo a costruire le procedure necessarie per la stima del premio di rischio 

secondo il processo in tre steps. 

In primo luogo occupiamoci della stima della frequenza ad un high deductible, data la 

frequenza ad un low deductible. 

Stima della frequenza 

Sapendo che vale la: 

freq( x ) := freq( OP ) ( 1 − F( x ) ) = freq( OP ) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

possiamo definire la seguente funzione: 

[>frequenza:=(FOP,OP,alpha,x)->FOP*((OP/x)âlpha); 

OP 

x 

frequenza := ( FOP, OP, α, x) → FOP ⎛ 

⎜ 

⎝ 

Per riprendere l'esempio proposto nel capitolo 6, calcoliamo detta frequenza partendo 

dalla frequenza data al valore 50000, pari a 7.37, con l'obiettivo di prezzare una 

copertura 100000 XS 100000, per il cui portafoglio è stato stimato un alpha pari a 

1.786304193 

(a differenza di quanto mostrato nel capitolo 6, in cui i calcoli, come 

segnalato in nota, erano stati fatti considerando quattro cifre decimali e portavano a 

stimare un valore di 1.77). 

[>frequenza(7.37,50000,1.786304193,100000); 

[> 

2.136664549 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

α 

OP 

x 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

α 

90

Stima del parametro 

α 

Volendo fare un passo indietro, possiamo mostrare come sia possibile stimare il 

valore di α avendo a disposizione un vettore contenente la sinistrosità storica. 

Vediamo di seguito la procedura: 

[>data:=[55715.50,58370.30,59865.80,60380.00,60690.00,606 

90.00,63000.00,65417.70,80419.60,86075.90,87000.00,95662 

.50,106303.80,106658.50,121065.80,132200.00,135569.60,17 

3979.70,180436.70]; 

data := [ 55715.50, 58370.30, 59865.80, 60380.00, 60690.00, 60690.00, 63000.00, 65417.70, 

80419.60, 86075.90, 87000.00, 95662.50, 106303.80, 106658.50, 121065.80, 132200.00, 

135569.60, 173979.70, 180436.70] 

[>alphast:=OPnops(data)/sum(ln(data[i]/OP),i=1..nops(data)); 

nops( data ) 

alphast := OP → 

nops( data ) 

⎛ ⎞ 

∑ ln⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

i = 1 ⎝ ⎠ 

data i 

OP 

[>alphast1:=alphast(50000); 

[> 

alphast1 := 1.786304193 

Solo per completezza presentiamo di seguito il grafico della funzione di distribuzione 

di Pareto per il parametro stimato: 

[>FddP:=x->(1-(1/xâlphast1)); 

FddP := x → 1 − 

1 

x alphast1 

[>plot(FddP(x),x=1..11,color=red,thickness=3); 

91

Stima del costo medio del sinistro ceduto 

Il secondo passaggio si occupa di stimare il valore del costo medio del sinistro 

trasferito al riassicuratore 


EP 

EL := 

⌠ 

( x− DE) α OP d + 

⌡ 

α ( − α − 1) 

x x 

⌠ 

CO α OP d 

⌡ 

α ( − α − 1) 

x x 

cioè 

⎮ DE 

) − 1 α 

DE ( ) − RL( 1 

1 − α 

oppure la 

DE 

ln( RL ) se è uguale a 1 

se α è diverso da 1 

possiamo definire la seguente funzione: 

∞ 

⎮ EP 

[>valoremediosin:=proc(CO,DE,alpha) local a, c, d, vms, 

errelle; 

[>a:=alpha;c:=CO;d:=DE;errelle:=(c+d)/d; 

[>if a=1 then vms:=d*ln(errelle); 

[>else vms:=d*(errelle^(1-a)-1)/(1-a); 

92

[>fi; 

[>end; 

valoremediosin := proc ( CO, DE, α) 

local a, c, d, vms, errelle; 

a := α; 

c:= CO; 

d := DE; 

errelle := ( c+ d)/ d; 

if a = 1 then vms := d × ln( errelle ) 

else vms := d × ( errelle ^( 

1 − a ) − 1 ) /( 1 − a ) 

end if 

end proc 

Per proseguire con l'esempio del capitolo 6, calcoliamo con questa procedura la stima 

cercata per una copertura 100000 XS 100000, per il cui portafoglio è stato stimato un 

alpha pari a 1.77. 

[>valoremediosin(100000,100000,1.786304193); 

53436.37314 

[> 

Stima del premio di rischio 


RP := freq( DE ) EL 

possiamo definire la seguente, semplice, funzione: 

[>premiodirischio:=(f,v)->f*v; 

premiodirischio := ( f, v ) → f v 

Per concludere l'esempio guida, per quanto calcolato fino ad adesso, avremo che il 

premio per il rischio per detta copertura 100000 XS 100000 sarà pari a: 

[>premiodirischio(2.136664549,53436.37314); 

114175.6041 

[> 

93

Un'unica procedura per la stima del premio di rischio 

Presentiamo adesso un'unica procedura che, partendo dai dati della sinistrosità e della 

frequenza del low deductible, dai valori prescelti per OP, per CO e per DE, sia in 

grado di calcolare automaticamente il valore del parametro α , la stima della 

sinistrosità, quella del costo medio e quindi il premio di rischio: 

[>procRP:=proc(sins::list,OP,CO,DE,freqOP) local sinsl, 

OPp, COp, DEp, freqOPp, alphastp, frequenzap, 

valoremediosinp, vmsp, premiodirischiop, RLp; 

[>sinsl:=sins;OPp:=OP;COp:=CO;DEp:=DE;freqOPp:=freqOP; 

[>alphastp:=nops(sinsl)/sum(ln(sinsl[i]/OPp), 

i=1..nops(sinsl)); 

[>frequenzap:=freqOPp*((OPp/DEp)âlphastp); 

[>valoremediosinp:=proc(COq,DEq,alphastq) local a, c, d, 

vms, errelle; 

[>a:=alphastq;c:=COq;d:=DEq;errelle:=(c+d)/d; 



[>fi; 

[>end; 

[>vmsp:=valoremediosinp(COp,DEp,alphastp); 

[>premiodirischiop:=(f,v)->f*v; 

[>RLp:=premiodirischiop(frequenzap,vmsp); 

[>print(Ìl parametro del modello è stato stimato in`); 

print (alphastp); 

[>print(`La frequenza media è stimata in`); 

print(frequenzap); 

[>print(Ìl costo medio di un sinistro trasferito è 

stimato in`); print(vmsp); 

[>print(Ìnfine, 

print(RLp); 

il premio di rischio è stimato in`); 

[>end; 

94

procRP := proc ( sins:: list, OP, CO, DE, freqOP) 

local sinsl, OPp, COp, DEp, freqOPp, alphastp , frequenzap, valoremediosinp, 

vmsp, premiodirischiop, RLp; 

sinsl := sins; 

OPp := OP; 

COp := CO; 

DEp := DE; 

freqOPp := freqOP; 

alphastp := nops( sinsl ) / sum ( ln ( sinsl[ i] / OPp ) , i = 1 .. nops( sinsl ) ) ; 

frequenzap := freqOPp× ( OPp/ DEp ) âlphastp 

; 

valoremediosinp := proc ( COq, DEq, alphastq ) 


a := alphastq ; 

c := COq; 

d := DEq; 




1 − a ) − 1 ) /( 1 − a ) 

end if 

end proc ; 

vmsp := valoremediosinp ( COp, DEp, alphastp ) ; 

premiodirischiop := ( f, v ) → f× v; 

RLp := premiodirischiop ( frequenzap, vmsp ) ; 

print( Ìl parametro del modello è stato stimato in` ) ; 

print( alphastp ) ; 

print( `La frequenza media è stimata in` ) ; 

print( frequenzap ) ; 

print( Ìl costo medio di un sinistro trasferito è stimato in` ) ; 

print( vmsp ) ; 

print( Ìnfine, il premio di rischio è stimato in` ) ; 

print( RLp ) 

end proc 

[>procRP([55715.50, 58370.30, 59865.80, 60380.00, 

60690.00, 60690.00, 63000.00, 65417.70, 80419.60, 

86075.90, 87000.00, 95662.50, 106303.80, 106658.50, 

121065.80, 132200.00, 135569.60, 173979.70, 180436.70], 

50000, 100000, 100000, 7.37); 

Il parametro del modello è stato stimato in 

95

1.786304193 

La frequenza media è stimata in 

2.136664549 

Il costo medio di un sinistro trasferito è stimato in 

53436.37314 

Infine, il premio di rischio è stimato in 

114175.6041 

Una procedura più snella è invece utilizzabile nel caso si ipotizzi di conoscere già il 

parametro del modello di Pareto; in questo caso possiamo utilizzare la 

schematizzazione seguente: 

[>procRPv1:=proc(alpha,OP,CO,DE,freqOP) local alphal, 

OPp, COp, DEp, freqOPp, frequenzap, valoremediosinp, 

vmsp, premiodirischiop, RLp, alphastl; 

[>alphastl:=alpha; 

freqOPp:=freqOP; 

OPp:=OP; COp:=CO; DEp:=DE; 

[>frequenzap:=freqOPp*((OPp/DEp)âlphastl); 

[>valoremediosinp:=proc(COq,DEq,alphastl) local a, c, d, 

vms, errelle; 

[>a:=alphastl;c:=COq;d:=DEq;errelle:=(c+d)/d; 



[>fi; 

[>end; 

[>vmsp:=valoremediosinp(COp,DEp,alphastl); 

[>premiodirischiop:=(f,v)->f*v; 

[>RLp:=premiodirischiop(frequenzap,vmsp); 

[>print(`La frequenza media è stimata in`); 

print(frequenzap); 

[>print(Ìl costo medio di un sinistro trasferito è 

stimato in`); print(vmsp); 

[>print(Ìnfine, 

print(RLp); 

il premio di rischio è stimato in`); 

96

[>end; 

procRPv1 := proc ( α, OP, CO, DE, freqOP) 

local alphal , OPp, COp, DEp, freqOPp, frequenzap, valoremediosinp, vmsp, 

premiodirischiop, RLp, alphastl ; 

alphastl := α; 

OPp := OP; 

COp := CO; 

DEp := DE; 

freqOPp := freqOP; 

frequenzap := freqOPp× ( OPp/ DEp ) âlphastl 

; 

valoremediosinp := proc ( COq, DEq, alphastl ) 


a := alphastl ; 

c := COq; 

d := DEq; 




1 − a ) − 1 ) /( 1 − a ) 

end if 

end proc ; 

vmsp := valoremediosinp ( COp, DEp, alphastl ) ; 

premiodirischiop := ( f, v ) → f× v; 

RLp := premiodirischiop ( frequenzap, vmsp ) ; 

print( `La frequenza media è stimata in` ) ; 

print( frequenzap ) ; 

print( Ìl costo medio di un sinistro trasferito è stimato in` ) ; 

print( 

vmsp ) ; 

print( Ìnfine, il premio di rischio è stimato in` ) ; 

print( RLp ) 

end proc 

[>procRPv1(1.786304193,50000,100000,100000,7.37); 


[> 

2.136664549 


53436.37314 


114175.6041 

97

Estrapolazione del premio di rischio per ulteriori layers 

Infine, presentiamo la procedura per l'estrapolazione del premio di rischio di un layer 

qualsiasi per una copertura riassicurativa di cui è già noto il premio di rischio per un 

altro layer. 

Per far questo, si ricordano le formule: 

e 

RP 1 

RP 1 

:= 

:= 

ln( RL ) RP 1 0 

ln( RL ) 0 

se α =1 

( 1 − α ) 

DE ( RL − 1) RP 1 1 

0 

DE 0 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

DE 1 

DE 0 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

α 

( 1 − α ) 

RL0 ( − 1) 

α 

se è diverso da 1 

Implementiamo quindi la procedura, che avrà come inputs α , DE D 0 , E CO 1 , 0 , 

CO 1 

e RP 0 

e fornirà come input 

RP 1 

[>estrproc:=proc(alphac,DE0,DE1,CO0,CO1,RP0) local ac, 

D0, D1, C0, C1, R0, RL1, RL0, RPp1; 

[>ac:=alphac;D0:=DE0;D1:=DE1;C0:=CO0;C1:=CO1;R0:=RP0; 

[>RL1:=(D1+C1)/C1;RL0:=(D0+C0)/C0; 

[>if ac=1 then 

[>RPp1:=(ln(RL1)*R0)/ln(RL0); 

[>else RPp1:= ( D1*(RL1^(1-ac)-1)*R0 ) / ( 

D0*((D1/D0)^(ac))*(RL0^(1-ac)-1) ); fi; 

[>print(Ìl premio estrapolato per la copertura è`); 

print(RPp1); 

[>end; 

[> 

estrproc := proc ( alphac, DE0, DE1, CO0, CO1, RP0) 

local ac, D0, D1, C0, C1, R0, RL1, RL0, RPp1; 

ac := alphac ; 

D0 := DE0; 

D1 := DE1; 

98

C0 := CO0; 

C1 := CO1; 

R0 := RP0; 

RL1 := ( D1 + C1 )/ C1; 

RL0 := ( D0 + C0 )/ C0; 

if ac = 1 then RPp1 := ln( RL1 ) × R0 / ln( RL0 ) 

else RPp1 := 

D1 × ( RL1 ^( 

1 − ac ) − 1) × R0/( D0× ( D1/ D0) âc 

× ( RL0 ^( 

1 − ac ) − 1) 

) 

end if ; 

print( Ìl premio estrapolato per la copertura è` ) ; 

print( RPp1 ) 

end proc 

Terminiamo confrontando i valori del premio di rischio ottenuti per una copertura 

500000 XS 500000, prima con il metodo dei tre steps: 

[>procRPv1(1.786304193,50000,500000,500000,7.37); 


.1205489119 


267181.8657 


32208.48319 

ed infine con il metodo dell'estrapolazione appena descritto: 

[>estrproc(1.786304193, 100000, 500000, 100000, 500000, 

114175.6041); 

Il premio estrapolato per la copertura è 

32208.48320 

99

Appendice 2: Alcune cifre 

In questa seconda appendice sono raccolti alcuni dati relativi al settore riassicurativo, 

analizzato sia a livello mondiale che a livello nazionale. Sono inoltre fornite alcune 

valutazioni circa gli eventi catastrofali. 

I dati qui riportati sono ripresi dai lavori, citati in bibliografia, di Gionta, sulla 

riassicurazione nei rami danni, di Zanetti, che ha curato per la Swiss Re la 

pubblicazione del numero di Sigma annualmente dedicato alle catastrofi, e dalla 

relazione annuale dell’Ania, resa pubblica lo scorso 27 Giugno. 

PAESI IMPRESE 

PREMI NETTI DI 

RIASSICURAZIONE 

2004 2003 

VARIAZIONE 

COMBINED 

RATIO 

Figura 38 – Mercato Riassicurativi Mondiale (valori in milioni di $) 

QUOTA DI 

MERCATO 

2004 2003 2004 2003 

Germania 15 45.419,10 46334,20 -2,0% 94,3% 94,4% 27,2% 28,7% 

U.S.A. 44 35.034,30 36.162,00 -3,1% 104,9% 100,8% 21,0% 22,4% 

Svizzera 9 23.461,60 20.394,00 15,0% 102,7% 96,8% 14,1% 12,6% 

Bermuda 26 14.203,00 12.250,90 15,9% 89,0% 71,3% 8,5% 7,6% 

Regno 

Unito 

23 12.597,20 13.155,00 -4,2% 95,8% 93,4% 7,5% 8,1% 

Giappone 11 12.079,10 11.140,50 8,4% 97,3% 77,7% 7,2% 6,9% 

Francia 7 5.424,00 5.089,80 6,6% 95,0% 113,3% 3,2% 3,1% 

Irlanda 16 3.031,10 3.821,00 -20,7% 120,5% 114,1% 1,8% 2,4% 

Altri 59 15.649,80 13.251,00 18,1% NA NA 9,4% 8,2% 

Totale 210 166.899,20 161.598,40 3,3% 100,0% 100,0% 


Standard and Poor's A.M. Best Fitch 

Rating Outlook Rating Outlook Rating Outlook 

100

Converium BBB+ Stabile B++ Stabile BBB- Stabile 

Hannover Re AA- Negativo A Negativo A+ Stabile 

Munich Re A+ Stabile A+ Negativo AA- Stabile 

SCOR A- Stabile B++ Positivo BBB+ Stabile 

Swiss RE AA Stabile A+ Negativo AA+ Negativo 

Figura 39 – Rating dei principali riassicuratori europei 

I premi indiretti del lavoro italiano ed estero, al lordo della retrocessione, raccolti dai 

riassicuratori professionali, sono diminuiti rispetto al 2004, facendo ridurre la quota 

di mercato riservata alle imprese che esercitano la sola riassicurazione. 

RIASSICURATORI 

PROFESSIONALI 

PREMI VARIAZIONE 

% SUL TOTALE 

PREMI INDIRETTI 

1997 1.729 8,5% 33,2% 

1998 1.835 6,2% 35,1% 

1999 1.669 -9,1% 35,7% 

2000 2.025 21,3% 37,5% 

2001 1.891 -6,6% 34,6% 

2002 2.171 14,8% 38,2% 

2003 1.828 -15,8% 30,8% 

2004 1.857 1,6% 33,8% 

2005 1.627 -12,4% 32,4% 

Figura 40 – Premi indiretti dei riassicuratori professionali (valori in milioni di €) 

Anche la raccolta dei premi indiretti nel suo complesso, ossia il totale dei premi di 

riassicurazione raccolti da società operanti in Italia, risulta ridimensionata rispetto al 

2004. 

INTERO MERCATO PREMI VARIAZIONE 

% SUL TOTALE 

PREMI DIRETTI E 

INDIRETTI 

101

1997 5.215 6,7% 11,0% 

1998 5.233 0,3% 9,3% 

1999 4.678 -10,6% 7,0% 

2000 5.401 15,5% 7,4% 

2001 5.461 1,1% 6,7% 

2002 5.683 4,1% 6,1% 

2003 5.934 4,4% 5,8% 

2004 5.487 -7,5% 5,1% 

2005 5.025 -8,4% 4,4% 

Figura 41 – Premi del lavoro indiretto italiano ed estero (valori in milioni di €) 

Il risultato d’esercizio dei riassicuratori professionali, riferito all’anno 2004, è stato 

positivo per 169 milioni di €, mentre quello del conto tecnico si è chiuso in attivo per 

196 milioni di €. 

CONTO ECONOMICO 1999 2000 2001 2002 2003 2004 

Conto tecnico 

Premi indiretti 1.135 1.447 1.356 1.638 1.390 1.429 

Variazione riserve premi (-) 193 230 196 197 88 72 

Utile investimenti 159 219 176 201 277 210 

Oneri relativi ai sinistri (-) 760 1.083 934 1.146 998 983 

Spese di gestione (-) 339 425 404 445 364 373 

Saldo altri proventi e oneri 7 -11 -12 -2 -8 -15 

Risultato 9 -83 -14 49 209 196 

Conto non tecnico 

Proventi 33 32 21 25 44 29 

Saldo altri proventi e oneri -34 -20 -22 -6 -16 -10 

Risultato attività ordinaria 8 -71 -15 68 237 215 

Risultato attività straordinaria -151 109 -1 12 54 -10 

Imposte (-) 9 3 0 20 34 36 

Risultato dell'esercizio -152 35 -16 60 257 169 

Figura 42 – Conto Economico riassicuratori professionali (valori in milioni di €) 

102

Nel corso del 2005 sono state 97.000 le vittime nel Mondo di catastrofi, sia naturali 

che man-made, di cui circa 73.300 diretta conseguenza del terremoto che ha colpito la 

regione del Kashmir (tra Pakistan ed India) lo scorso Ottobre. I danni globali 

ammontano a più di 230 miliardi di $ (l’uragano Katrina incide per 135 miliardi), di 

cui 83 miliardi a carico delle assicurazioni, essendo più di un terzo dei rischi coinvolti 

oggetto di una copertura. Le catastrofi naturali hanno gravato sul bilancio degli 

assicuratori per 78 miliardi, mentre ammontano a 5 miliardi i costi relativi a disastri 

man-made. 

Numero % Vittime % 

Sinistri 

assicurati 

Catastrofi naturali 149 37,5% 88.083 90,8% 78.330 93,9% 

Catastrofi man-made 248 62,5% 8.935 9,2% 5.066 6,1% 

Totale 397 100,0% 97.018 100,0% 83.396 100,0% 

Figura 43 – Catastrofi naturali e man-made nel 2005 (valori in milioni di $) 

% 

103

Bibliografia 

ANIA (2006), “L’assicurazione Italiana 2005/2006” 

Angeli G. (1996), La Riassicurazione, Giuffrè Editore, Milano. 

Bernegger S. (1997), “The Swiss Re exposure curves and the MBBEFD distribution 

class”, ASTIN Bulletin 27/1. 

Booth P., Chadburn R., Cooper D., Haberman S. e James D. (1999), Modern actuarial 

theory and practice, Chapman & Hall/CRC, London. 

Bouchemmama J., Calvi D., De Marco N., Luscher M., Muller L., Kingsley M.P. e 

Rappold P. (2000), “Non-proportional reinsurance accounting”, Swiss 

Reiunsurance Company. 

Bugmann C. (1997), “Proportional and non-proportional reinsurance”, Swiss 

Reinsurance Company. 

Campana A. (2004), “Metodologie di pricing nelle riassicurazioni danni”, 

Dipartimento di Scienze Economiche, Gestionali e Sociali. 

Chiarlo M. (1997), Economia dell’assicurazione danni, ECIG, Genova. 

Durand R. (2002), “La Riassicurazione – uno strumento di consolidamento del 

margine di solvibilità disponibile”, SCOR Group. 

Gionta G. (2005), La Riassicurazione dei rami danni: ieri, oggi e domani, Dispense 

per il XXV corso di formazione attuariale permanente. 

104

Grasso F. (2006), La Riassicurazione, Dispense per il corso di Tecnica Attuariale 

delle Assicurazioni Contro i Danni. 

Guggisberg D. (2000), “Exposure rating”, Swiss Reinsurance Company. 

Mata J.A. (2000), “Pricing excess of loss reinsurance with reinstatements”, ASTIN 

Bulletin 30/2. 

Schmitter H. e Butikofer P. (1998), “Estimating property excess of loss premiums by 

means of the Pareto model“, Swiss Reinsurance Company. 

Schmutz M. e Doerr R.R. (1998), “The Pareto model in property reinsurance“, Swiss 

Reinsurance Company. 

Zanetti A. (2006), “Calamità naturali e catastrofi man-made nel 2005”, Sigma n. 

2/2006, Swiss Reinsurance Company. 

105

Glossario 

Assicurazione 

Impresa che esercita professionalmente e in forma esclusiva l’attività assicurativa. 

L’impresa di assicurazione, grazie all’esercizio dell’attività su basi tecniche e al 

numero elevato di rischi assunti, è in grado di stimare la probabilità del verificarsi di 

rischi determinati, ripartendone le conseguenze negative tra una pluralità di soggetti 

esposti al medesimo tipo di rischio. 

Burning Cost 

Termine inglese usato nella riassicurazione non proporzionale per determinare il 

premio puro, prima dei caricamenti; si ottiene con il rapporto tra sinistri a carico della 

copertura non proporzionale fratto l'incasso premi del rischio. 

Clausola dei Reintegri 

Clausola contrattuale che limita, mediante l’indicazione di un numero di reintegri, 

l’ammontare totale che il riassicurato potrà recuperare dalla sottostante copertura; con 

questo accordo la somma assicurata su ogni rischio coperto dal trattato si riduce 

automaticamente per le quantità corrispondenti al danno ceduto ed il riassicurato ha la 

possibilità di ricostituire tale somma, nelle limitazioni concesse dalla clausola, 

pagando un premio integrativo detto premio di reintegro. 

Coassicurazione 

Contratto con il quale il medesimo rischio viene assicurato, per quote prefissate, da 

più assicuratori. In caso di sinistro, ciascuno dei coassicuratori è tenuto a 

corrispondere l’indennizzo in proporzione alla quota assicurata di sua competenza. 

Combined Ratio 

Il principale degli indici di bilancio utilizzati per valutare l’andamento di un’impresa 

di assicurazioni; consiste nel rapporto percentuale tra la somma dei sinistri e delle 

spese sui premi incassati. 

106

E.CO.MO.R. 

Particolare tipologia riassicurativa proposta dall’attuario francese Thépaut nel 1950. 

L’“Excedent du Cout Moyen Relatif” si caratterizza per la sua capacità di ripartire gli 

effetti derivanti dall’inflazione tra cedente e cessionario, impostando la sua struttura 

sulla statistica ordinata dei danni subiti dai rischi assicurati. E’ utilmente impiegata 

anche per la copertura dei grandi sinistri. 

Excess of Loss 

Un accordo di riassicurazione, di tipo non proporzionale, nel quale le due parti 

concordano un importo monetario, la priorità, sopra il quale tutte le perdite sono 

trasferite al riassicuratore, fino ad un limite contrattuale definito portata. Le 

definizioni di questi valori possono essere date in termini di singolo sinistro (per 

risk), di evento (per event o CATXL nel caso di eventi estremi) o dell’intero 

portafoglio (aggregate). 

Retrocessione 

Frazione dei rischi che la compagnia di riassicurazione cede ad un altro riassicuratore, 

in questo caso detto retrocessionario. 

Riassicurazione 

Operazione con la quale un assicuratore (il riassicurato), dietro corrispettivo, riduce la 

propria esposizione economica, sia su un rischio singolo (riassicurazione facoltativa), 

sia su un vasto numero di rischi (riassicurazione obbligatoria o per trattato), attraverso 

la cessione ad altra impresa assicuratrice (il riassicuratore) di parte degli impegni 

derivanti dai contratti di assicurazione. 

Rischio 

In senso lato si intendono gli oggetti, i pericoli o gli interessi per i quali viene prestata 

l'assicurazione. 

Stop Loss 

107

Modalità riassicurativa del tipo non proporzionale, nella quale le definizioni di 

priorità e portata sono definite in termini percentuali ed a livello dell’intero 

portafoglio. 

Surplus 

Riassicurazione proporzionale in cui vengono assunti i rischi che superano il 

conservato, in termini di liability, della cedente. 

Quota-Share 

Riassicurazione proporzionale in cui la copertura viene applicata su una percentuale 

uniforme dei rischi in un determinato ramo assicurativo. 

108

Elenco delle figure 

Figura n. Nome Figura Pagina 

1 L'antica sala delle sottoscrizioni 10 

2 Edificio dei Lloyd's e la torre ovale della Swiss Re a Londra 13 

3 Distribuzione dei rischi 17 

4 Coassicurazione e Riassicurazione a confronto 18 

5 Esempio di quota share 28 

6 Rappresentazione grafica del quota-share 29 

7 Surplus caso A 33 

8 Surplus caso B 33 

9 Surplus caso C 33 

10 Rappresentazione grafica del surplus 34 

11 Tabella Layers 38 

12 Tabella WXL/R 42 

13 Tabella WXL/E 42 

14 Grafico WXL/R 43 

15 Grafico WXL/E 43 

16 Combinazione di WXL/R e di CATXL 45 

17 Grafici relativi alla combinazione di WXL/R e di CATXL 46 

18 Esempio di aggregate XL 48 

19 Esempio di stop-loss 51 

20 Adeguamento dei valori ad un indice 55 

21 Ripartizione dei risarcimenti sotto la clausola di stabilità 55 

22 Clausola dei reintegri, step 1 59 




26 Le componenti del premio di riassicurazione 66 

27 Dati storici di sinistrosità 72 

109

28 Una rappresentazione della sinistrosità storica 73 

29 Grafico a gradini 74 

30 Funzione di distribuzione empirica 75 

31 Funzioni di distribuzioni di Pareto per differenti α 76 

32 Funzione di distribuzione di Pareto troncata 78 

33 GNPI 80 

34 Rappresentazione del valore atteso tramite la f.d.e. 83 

35 Rappresentazione del valore atteso tramite la f.d. di Pareto 83 

36 Ripartizione effettiva dei sinistri 86 

37 Tabella dati 87 

38 Mercato riassicurativi mondiale 100 

39 Rating dei principali riassicuratori europei 101 

40 Premi indiretti dei riassicuratori professionali 101 

41 Premi del lavoro indiretto italiano ed estero 102 

42 Conto Economico riassicuratori professionali 102 

43 Catastrofi naturali e man-made nel 2005 103 

110

(Fac-simile frontespizio tesi di laurea specialistica) - Scor

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?