Forza di Coriolis

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In fisica la forza di Coriolis è una particolare manifestazione dell'inerzia descritta dal fisico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1835.
Meno comunemente (ma più correttamente) ci si riferisce al manifestarsi di questa forza fittizia anche con la definizione di effetto Coriolis.

Formulazione [modifica]

In termini matematici, la forza di Coriolis ha la seguente espressione:

Le lettere in grassetto sono quantità vettoriali. F_C è la forza di Coriolis, m è la massa, che si muove con velocità v rispetto al sistema di riferimento non inerziale, al quale è dovuto il manifestarsi della forza, × rappresenta il prodotto vettoriale e ω è la velocità angolare del sistema non inerziale misurata rispetto ad un sistema fisso.

Descrizione intuitiva [modifica]

L'animazione a destra è una rappresentazione schematica dell'effetto Coriolis, in cui una palla si muove rispetto ad un disco rotante senza che vi sia attrito tra le due parti. Se viene lanciata dal centro del disco, poiché non c'è attrito, la palla non è vincolata alla rotazione, e dato che non agisce nessuna forza su di essa, si muoverà di moto rettilineo uniforme, se osservata da un sistema di riferimento non rotante. Per un osservatore solidale con il disco, l'oggetto sembra invece percorrere una traiettoria curva. L'osservatore, constatando che la traiettoria è curva, deve concludere la presenza di un'accelerazione, e quindi di una forza agente sull'oggetto. Con pochi e semplici calcoli, troviamo che l'effetto Coriolis dipende dalla velocità dell'oggetto e dalla velocità angolare di rotazione. Possiamo anche vedere la cosa come un "ritardo" della velocità della palla rispetto alla velocità tangenziale del disco: al centro la velocità tangenziale è nulla, mentre aumenta in maniera proporzionale alla distanza dal centro.

Se portiamo ora il discorso sulla superficie terrestre, l'effetto Coriolis è dovuto alle differenti velocità di rotazione lungo la superficie, invece che lungo il raggio terrestre. Questo perché la distanza dall'asse di rotazione è nulla ai poli e massima all'equatore. Dato che la Terra ruota da ovest verso est, scendendo dal polo Nord all'equatore saremo sempre più in ritardo sulla rotazione, e dunque ci sposteremo verso ovest. Salendo dal polo Sud, saremo sempre in ritardo sulla rotazione, e di nuovo ci ritroveremo ad ovest.

L'effetto è lo stesso che si produrrebbe con l'applicazione di una forza trasversale alla direzione del moto, per questo motivo si parla di forza di Coriolis. Si tratta di una forza apparente, poiché inesistente in un riferimento inerziale, e relativistica, in quanto dipendente dal sistema in cui si trova l'osservatore e dal moto di questo relativamente al riferimento inerziale.

Derivazione [modifica]

Ricorrendo all'analisi, è possibile determinare l'espressione dell'accelerazione di Coriolis molto semplicemente. Sia r = rê_r la legge oraria di un corpo in movimento. La sua velocità sarà data dalla derivata prima rispetto al tempo di tale espressione:

La prima derivata rappresenta la velocità radiale, mentre la seconda è un vettore che ha per modulo la velocità angolare e per direzione quella perpendicolare al versore radiale. Quindi:

Derivando v rispetto al tempo si determina l'accelerazione assoluta:

in cui si riconoscono alcuni tipi già noti di accelerazione:

e, inoltre, il termine 2ωv_rê_θ, che esprime l'accelerazione di Coriolis

Applicando la relazione di Poisson al vettore posizione r (legge oraria) si determina:

Riapplicando la relazione di Poisson al vettore velocità v si ha:

dove l'ultimo termine rappresenta proprio l'accelerazione di Coriolis

Dinamica del fenomeno [modifica]

Dimostrazione della formazione di una superficie parabolica su un fluido in rotazione

Per rappresentare adeguatamente l'effetto Coriolis si può utilizzare uno specchio di mercurio rotante, come quelli realmente impiegati in astronomia. La superficie di una vasca di mercurio rotante assume la forma di un perfetto specchio parabolico. Ogni particella di mercurio è in uno stato di equilibrio dinamico in cui la forza centrifuga è proporzionale alla distanza dal centro. Tutto il mercurio ruota con lo stesso periodo, come un'unica massa. Un oggetto che galleggi ovunque sul mercurio si collocherebbe anch'esso in equilibrio dinamico, trascinato in rotazione dal metallo. Questo è ottimale per il manifestarsi dell'effetto Coriolis.

Rappresentazione schematica in sezione di oscillazione armonica su una superficie parabolica

Per prima cosa si consideri la situazione in cui un oggetto, per esempio un piccolissimo hovercraft, sia sospeso sulla superficie del mercurio senza attrito, supponendo trascurabile anche l'attrito dell'aria. L'oggetto, non interagendo con la superficie non ne è trascinato, quindi consideriamo solamente il profilo del mercurio, non la sua rotazione. Da punto di vista di un sistema inerziale quando l'hovercraft è lasciato andare da una posizione prossima al bordo della vasca, esso comincerà ad oscillare da un lato all'altro della superficie (che ricordiamo ha forma concava). L'oscillazione è di tipo armonico ed ha lo stesso periodo del periodo di rotazione dello specchio di mercurio. È anche possibile che l'hovercraft possa oscillare in due direzioni perpendicolari. Se le frequenze delle due oscillazioni sono opportunamente impostate, il moto risultante avrà l'aspetto di una ellisse, o nel caso di una perfetta simmetria, un cerchio. Considerare la traiettoria ellittica come combinazione di due moti armonici aiuta a comprendere la fisica sottostante al fenomeno e a visualizzare la velocità non costante dell'oggetto nel seguire una traiettoria ellittica.

Moto libero di Coriolis [modifica]

Situazione come appare un punto di vista fisso esterno.

Situazione vista da una telecamera solidale al disco rotante.

Si consideri la situazione in cui l'hovercraft si muova lungo la traiettoria ellittica con un periodo identico a quello di rotazione del mercurio. In questo caso l'unica forza che influenza il moto è la forza centripeta prodotta per effetto dell'inclinazione della superficie.

Analisi delle diverse posizioni, vedi testo.

Quando l'hovercraft si trova in una delle posizioni A, la sua velocità è inferiore a quella per la quale si avrebbe, per quella distanza dal centro di rotazione, l'equilibrio tra forza centripeta e centrifuga. Si ha quindi una prevalenza di forza centripeta che accelera l'hovercraft verso il centro del disco. Alla posizione B l'hovercraft sta guadagnando velocità e la forza centripeta sta compiendo lavoro consistente nell'incremento dell'energia cinetica di rotazione dell'hovercraft. In posizione C l'hovercraft si muove più velocemente della velocità di equilibrio per quella distanza da centro, per cui si ha un difetto di forza centripeta e l'hovercraft, non più trattenuto, tende ad allontanarsi dal centro. Nelle posizioni D l'hovercraft risale l'inclinazione perdendo velocità ed energia cinetica, che viene convertita in energia potenziale.

Dal punto di vista di una telecamera solidale al disco rotante, l'unico movimento percepibile è quello dovuto alla differenza tra l'orbita circolare e l'orbita ellittica. L'hovercraft appare muoversi su una piccola traiettoria circolare in prossimità del punto in cui è stato rilasciato. Per ogni rivoluzione del sistema rotante l'hovercraft compie due rotazioni. Dal punto di vista matematico questa traiettoria circolare può essere ottenuta sottraendo una traiettoria circolare da una ellittica concentrica. La dinamica dell'eccentricità di una traiettoria ellittica è chiamata dinamica di Coriolis.

La forza che compie il lavoro è diretta parallelamente all'asse di rotazione dello specchio rotante. Nell'esempio descritto si tratta della forza gravitazionale terrestre. L'espressione forza di Coriolis in questo caso è una semplificazione di termini che riassume una dinamica complessa.

Facendo una analogia tra la dinamica di Coriolis su uno specchio parabolico e sulla terra, ovvero se fosse possibile sospendere un oggetto sulla superficie terrestre senza alcun attrito, cosa accadrebbe? È stato calcolato come esempio che alla latitudine di 41° si avrebbe un moto circolare su un'orbita di 100 Km in quasi 14 ore, ad una velocità di 10 m/s.

Interazione tra i sistemi, aggiunta dell'attrito [modifica]

Si consideri ora il caso in cui siano presenti degli attriti. I due sistemi coinvolti sono il sistema di riferimento inerziale ed il sistema rotante. La direzione in cui si manifesta la forza di inerzia è determinata dalla direzione dell'accelerazione rispetto al sistema di riferimento inerziale, che è un punto di riferimento non rotante. Nel caso specifico il sistema rotante è il mercurio con l'oggetto in contatto con la sua superficie. Normalmente il vettore della forza d'inerzia e quello di trascinamento prodotto dall'attrito puntano nella stessa direzione, ma non quando sia implicato un sistema in rotazione.

Quando alla dinamica del sistema viene aggiunto un attrito tra mercurio ed hovercraft, l'orbita ellittica si riduce progressivamente ad una forma circolare.

Per l'osservatore solidale con il sistema rotante, l'orbita circolare di prima diventa un moto a spirale verso il centro. Si ha interazione tra i due sistemi: il trascinamento cambia un equilibrio dinamico, l'orbita ellittica, in un altro equilibrio dinamico, l'orbita circolare.

Dinamica di Coriolis in modelli meccanici rotanti [modifica]

Dinamica di Coriolis: avvicinando le masse l'energia cinetica di rotazione aumenta

L'animazione a lato mostra l'effetto della forza di Coriolis su un sistema meccanico rotante. I cerchi neri rappresentano due masse sospese per un sistema articolato che possono muoversi liberamente in senso radiale rispetto alla parte a cui sono connessi.

Un esempio di questo tipo si ha stando seduti su una sedia rotante tenendo le braccia allargate, due pesi nelle mani, e ruotando lentamente. Se si stringono le braccia avvicinando i pesi al centro di rotazione, la velocità angolare aumenta sensibilmente.

Quando la posizione dei pesi viene modificata, cambia il momento di inerzia del sistema. Il momento di inerzia è la misura della forza necessaria per accelerare la velocità di rotazione, ed è proporzionale alle masse che costituiscono l'oggetto e al quadrato della distanza di queste parti dall'asse di rotazione.

Supponendo per semplicità le masse puntiformi, si ha la seguente espressione del momento di inerzia:

I = mr²

Dove m è la massa e r² il quadrato del raggio.

Per avvicinare le masse all'asse deve esserci una forza centripeta aggiuntiva, superiore a quella necessaria per mantenere le masse su una traiettoria circolare di raggio costante. Quando i pesi sono tirati all'interno viene compiuto un lavoro da questa forza. Il lavoro si traduce in aumento dell'energia di rotazione del sistema e quindi di velocità.

Le frecce blu rappresentano il momento

Nell'analisi precedente si sono considerate due forze agenti radialmente che compiono lavoro per avvicinare od allontanare le masse. Nella animazione a lato si analizza invece il sistema considerando due forze agenti in direzione tangenziale, ovvero un momento. Anche in questo caso le forze compiono un lavoro, causando lo scorrimento radiale delle masse e la variazione del momento di inerzia. Riprendendo l'esempio della sedia, il momento può essere applicato da una persona esterna che fa ruotare la sedia più velocemente, con la persona seduta sopra che tiene le braccia liberamente a penzoloni, senza applicare alcuna forza.

Si consideri il caso particolare in cui la forza applicata sia proporzionale alla distanza dal centro di rotazione. In questa situazione l'energia fornita al sistema viene completamente convertita in aumento del momento di inerzia, e non si ha variazione della velocità angolare.

Poiché la velocità angolare è costante, si può scrivere la formula:

che esprime la forza di Coriolis.

Si noti che l'effetto Coriolis si manifesta solamente se il sistema è in rotazione. Se si è seduti su una sedia non in rotazione, allargare o avvicinare i pesi non richiede di compiere alcun lavoro e non ha conseguenze, la sedia rimane ferma, ma ferma rispetto a cosa? Si immagini di avere una telecamera in rotazione al di sopra della sedia ferma. Dal punto di vista delle telecamera la sedia appare in rotazione, ma non si manifesta alcun effetto della dinamica di Coriolis, sebbene esiste un moto rotatorio relativo tra i due sistemi. Questo impone la necessità di stabilire quale sia il sistema di riferimento inerziale rispetto al quale si può parlare di rotazione. Il non banale problema è affrontato dal principio di Mach o dalla teoria della relatività di Einstein. Fondamentalmente la risposta è: la forza si manifesta per i moti relativi al sistema che sperimenta un'accelerazione (centripeta, in questo caso).

Dinamica di Coriolis applicata ai vortici [modifica]

Si ipotizzi ora che un dispositivo co-rotante prelevi una quantità di mercurio, creando un abbassamento locale di livello. Il mercurio inizierà naturalmente a fluire da ogni direzione per colmare il vuoto.

Definiamo ora nord il centro del disco, sud il bordo, ovest il senso orario e est il senso antiorario.

Il mercurio che inizialmente fluisce in senso radiale in direzione nord incrementa la sua velocità tangenziale (Velocità tangenziale=ω*R dove ω è la velocità angolare e R il raggio ovvero la distanza dall'asse di rotazione) e deflette quindi verso destra. Viceversa il liquido che fluisce verso sud diminuisce la sua velocità tangenziale e deflette verso la sua destra. Questo caso corrisponde al modello della sedia rotante precedentemente descritta in cui le masse vengono avvicinate o allontanate per effetto di una forza radiale.

Il fluido in movimento verso est, nel senso di rotazione del disco, si sta muovendo ad una velocità superiore alla velocità di equilibrio, per cui tende a risalire verso sud per allargare la sua traiettoria ed il risultato è una deflessione verso destra. Il fluido in movimento verso ovest ha una velocità inferiore a quella di equilibrio e tende perciò ad avvicinarsi al nord ed ancora si ha una deflessione verso destra. Questo caso equivale all'esempio della sedia rotante in cui viene applicato un momento dall'esterno, in questo caso costituito dal gradiente di livello del fluido.

Schema delle forze agenti nell'intorno ad un vortice. Il gradiente di pressione è rappresentato dalle frecce blu, mentre l'effetto Coriolis, sempre perpendicolare alla velocità, è rappresentata dalle frecce rosse

Questa serie di eventi porta a quello che in meteorologia è la legge di Buys-Ballot. Il risultato è che il mercurio intorno alla depressione tende ad assumere un movimento a spirale. Se il bacino ruota in senso antiorario, allora anche il vortice ruota in senso antiorario. (Nell'esempio precedente di moto non vincolato, la rotazione antioraria si rifletteva in una apparente rotazione oraria dell'oggetto rispetto al sistema rotante).
La forza causata dalla depressione nel mercurio provoca la deflessione verso sinistra, mentre senza questo effetto sarebbe verso destra.

Se il vortice si contrae, come imposto dalle forze centripete descritte, allora la velocità angolare aumenta. L'attrito tende a frenare il vortice, ma la presenza delle forze che causano la contrazione ha l'effetto di mantenere alta la velocità di rotazione.

Per avere un moto circolare stabile rispetto al riferimento inerziale, l'intensità della forza centripeta deve essere: F = mωv (dove ω è la velocità angolare).

Nel caso del vortice sul mercurio ruotante, l'intensità della forza inerziale è determinata dalla velocità reale rispetto al sistema inerziale. Quando questa è espressa relativamente al sistema rotante, la forza è data da: F = 2mωv. (dove ω è la velocità angolare e v è la velocità della massa rispetto al sistema rotante).

Effetti e applicazioni [modifica]

L'effetto sull'atmosfera [modifica]

L'uragano Ivan al di sopra di Cuba e lo Yucatan

L'effetto Coriolis ha un ruolo molto importante nella dinamica atmosferica e sulla meteorologia, poiché influisce sui venti, sulla formazione e rotazione delle tempeste, così come sulla direzione delle correnti oceaniche (spirale di Ekman).

Formazione di un ciclone nell'emisfero boreale

Masse d'aria si riscaldano all'equatore, diminuiscono in densità e salgono, richiamando aria più fredda che scorre sulla superficie terrestre verso l'equatore. Poiché non c'è abbastanza attrito tra la superficie e l'aria, questa non acquisisce la velocità necessaria per mantenersi in co-rotazione con la terra. I venti che normalmente scorrerebbero verticalmente dai poli verso l'equatore sono quindi deviati dalla forza di Coriolis e danno origine a quei venti costanti noti con il nome di alisei. Nell'emisfero nord questi venti soffiano da nord-est verso sud-ovest e nell'emisfero sud soffiano da sud-est verso nord-ovest. I flussi d'aria che si sollevano all'equatore non giungono fino ai poli, poiché la forza di Coriolis costringe le correnti d'aria a muoversi in circolo intorno alle regioni polari.

Nella parte superiore dell'atmosfera l'attrito ha scarsa influenza sui venti e le particelle di aria sono soggette esclusivamente alla forza dovuta al gradiente di pressione ed all'effetto Coriolis. Come descritto nella sezione relativa alla dinamica dei vortici, queste due forze tendono a compensarsi, e per questo motivo le correnti d'aria ad alta quota tendono a scorrere parallelamente alle isobare. I venti generati con questa dinamica sono chiamati geostrofici.

Nell'emisfero settentrionale un sistema di bassa pressione ruota in senso antiorario, mentre un sistema di alta pressione ruota in senso orario, come stabilito dalla legge di Buys-Ballot; l'opposto avviene nell'emisfero meridionale.

Per ricordare il senso di rotazione del fenomeno si può ricordare questo semplice schemino (valido nell'emisfero settentrionale)

• Anticiclone (alta pressione) - Senso orario
• Ciclone (bassa pressione) - Senso antiorario

Effetto sugli scarichi dei lavandini [modifica]

È un'idea comune molto radicata che l'effetto Coriolis determini il senso di rotazione dei vortici che si creano quando si stappa lo scarico di un lavandino. Nell'emisfero nord la rotazione è in un senso, mentre è opposta nell'emisfero sud. In alcuni paesi a cavallo dell'equatore viene a volte presentato ai turisti un esperimento che dimostrerebbe come spostandosi di pochi metri a nord o a sud della linea equatoriale cambierebbe il senso di rotazione di un vortice in una vaschetta.

Si tratta in realtà di una leggenda metropolitana. L'effetto della forza di Coriolis su questi sistemi è infatti diversi ordini di grandezza inferiore rispetto a molti altri elementi, come la geometria della vasca e dello scarico, l'inclinazione del piano e soprattutto il movimento che aveva inizialmente l'acqua (il trucco propinato ai turisti all'equatore consiste nel muovere opportunamente ed impercettibilmente la vaschetta per indurre la rotazione nel senso voluto).

Ripetere più volte l'esperimento su un singolo lavandino può trarre in inganno, in quanto esiste un errore sistematico dovuto alla geometria specifica della vasca.

Se si prende una vasca piatta e circolare, con uno scarico piccolo e liscio, avendo cura di attendere che l'acqua sia perfettamente ferma e stappando con cura, è possibile osservare l'influenza della forza di Coriolis. Tuttavia, data la grandezza del fenomeno, bisognerebbe lasciare a riposo l'acqua per alcuni giorni, in una stanza sigillata e lontano dal passaggio di mezzi pesanti, perché le correnti d'aria barometriche, i moti vorticosi interni del liquido e le vibrazioni indotte da un camion hanno all'incirca la stessa magnitudine del fenomeno.

Misuratore di flusso ad effetto Coriolis [modifica]

Una applicazione tecnologica dell'effetto Coriolis si ha nel flussimetro, uno strumento che misura l'entità del flusso di fluido che scorre in un tubo. Il principio di funzionamento fu applicato nel 1977 dalla Micro Motion Inc.
Il sistema funziona applicando una vibrazione al tubo e quindi rilevando ed analizzando gli effetti inerziali prodotti dall'interazione tra le vibrazioni e lo scorrimento della massa fluida.

Altre manifestazioni del fenomeno [modifica]

Dall'effetto Coriolis deriva il teorema di Taylor-Proudman che afferma: in un sistema di riferimento rotante, se un flusso ha un basso numero di Rossby (Ro) ma un alto numero di Reynolds (Re), tutte le soluzioni stabili delle equazioni di Navier-Stokes hanno la caratteristica che la velocità del fluido è costante lungo ogni linea parallela all'asse di rotazione.

Nello studio delle correnti oceaniche è possibile ignorare le componenti non verticali della rotazione terrestre, così se le condizioni del teorema sono rispettate (Re >> 1 è universale, ma 0.1 m/s come velocità tipica del flusso e 4 km di profondità, f = 10^-4 s^-1 dà Ro ≈ 0.25, che è trascurabile) la velocità dell'acqua è identica in tutti i punti su una verticale, chiamata colonna di Taylor. Il teorema di Taylor-Proudman è largamente impiegato quando si ha a che fare con i flussi limnologici, in astrofisica (vento solare, dinamica di Giove) e problemi industriali come per esempio la progettazione di turbine.

Sebbene la forza di Coriolis è debole e non ha influenza rilevabile su piccoli sistemi come i vortici nei lavandini, può però avere conseguenze a lungo termine. È stato osservato un consumo anomalo sulle rotaie ferroviarie riconducibili all'effetto Coriolis, che è anche causa dell'erosione più marcata su un lato dei letti fluviali.

Effetti della forza si manifestano anche in fisica atomica. Nelle molecole poliatomiche, il moto molecolare può essere descritto come una rotazione rigida più una vibrazione delle parti attorno alla posizione di equilibrio. Gli atomi risultano così in movimento relativamente ad un sistema di riferimento rotante (la molecola). Una forza di Coriolis è quindi presente e induce gli atomi a muoversi in una direzione perpendicolare rispetto all'oscillazione iniziale. Questo produce una particolare confusione nello spettro molecolare, tra i livelli rotazionali e vibrazionali.

Gli insetti del gruppo dei ditteri utilizzano due minuscole strutture vibranti sui fianchi del corpo per percepire gli effetti della forza di Coriolis. Questi organi svolgono un ruolo chiave nell'abilità degli insetti nel volo acrobatico.

Bibliografia [modifica]

• (FR) Coriolis, G.G., 1832: Mémoire sur le principe des forces vives dans les mouvements relatifs des machines. Journal de l'école Polytechnique, Vol 13, 268-302. [1]
• (FR) Coriolis, G.G., 1835: Mémoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. Journal de l'école Polytechnique, Vol 15, 142-154 [2]
• Antonio Bertin, Mario Poli, Antonio Vitale. Fondamenti di meccanica. , 1997. ISBN 88-86524-04-8

Altri progetti [modifica]

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Forza di Coriolis

Collegamenti esterni [modifica]

• Uno studio sugli scarichi dei lavandini
• La forza di Coriolis dal punto di vista di un insegnante
• (EN) Tavolo parabolico rotante utilizzato al MIT
• (EN) Fraintendimenti comuni a proposito della forza di Coriolis
• (EN) Usenet FAQ sugli scarichi
• (EN) How do we understand the Coriolis force? (PDF del meteorologo Anders Persson sulla forza di Coriolis)
• (EN) The Coriolis Effect (PDF di Anders Persson su vari aspetti della forza, tra cui il pendolo di Foucault e le colonne di Taylor)

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