Legge di gravitazione universale

La legge di gravitazione universale, formulata da Isaac Newton, descrive l'interazione tra i corpi celesti e stabilisce che qualsiasi corpo nell'universo, inteso come punto materiale, attrae ogni altro corpo con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato delle distanze.

In questa lezione presenteremo l'enunciato e la formula della legge di gravitazione universale, e la analizzeremo sotto ogni punto di vista, mettendone in luce il significato fisico e scrivendone esplicitamente le formule inverse.

Enunciato e formula della legge di gravitazione universale

La legge di gravitazione universale introduce una delle quattro grandi forze fondamentali della natura: la forza di gravitazione universale, detta anche forza di attrazione gravitazionale. Scoperta da Newton (in onore del quale viene anche detta legge di gravitazione di Newton), si tratta di una forza a distanza sempre attrattiva, che si esercita tra qualunque coppia di corpi dotati di massa posti a una certa distanza.

La formula della legge di gravitazione universale esprime il modulo della forza di interazione nel seguente modo:

dove indicano le masse dei due corpi; indica la distanza tra i centri dei due corpi e denota la costante gravitazionale (detta anche costante di gravitazione universale), il cui valore è dato da

dove i numeri tra parentesi tonde indicano l'incertezza assoluta. In forma equivalente:

A meno che sia richiesta un'estrema precisione, negli esercizi e nelle applicazioni si può ricorrere al seguente valore approssimato

Significato della legge di gravitazione universale

Vediamo di esporre, con ordine, tutte le informazioni relative alla legge di gravitazione universale e al suo significato.

1) A un'analisi immediata della legge di gravitazione universale risulta che la forza di attrazione gravitazionale è direttamente proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza .

Questo significa che, a parità di distanza, se si raddoppia una delle due masse, la forza raddoppia; se manteniamo invece costanti le masse e raddoppiamo la loro distanza, allora la forza si riduce di un quarto; se la distanza triplica, la forza diventa nove volte più piccola, e così via.

2) Per quanto riguarda la costante di gravitazione universale, si tratta di una costante valida per qualunque coppia di particelle che si attraggono gravitazionalmente ed è valida ovunque nell'Universo, indipendentemente dal luogo e dalle condizioni considerate. È per questo motivo che la costante di gravitazione viene detta universale. Ad oggi infatti non c'è nessuna ragione di credere che le leggi delle fisica scoperte su un piccolo pianeta azzurro in un angolo dell'Universo non debbano valere anche altrove. :)

Di conseguenza la legge di gravitazione universale, che Newton formulò a partire dalle conoscenze acquisite sul nostro sistema solare, viene applicata anche per sistemi stellari e galassie lontane milioni o miliardi di anni luce da noi.

3) La legge di gravitazione universale è valida per corpi puntiformi (i soliti punti materiali che ormai conosciamo molto bene dalla meccanica classica). Questo però non è di certo un limite nell'applicazione della formula; vediamo di capirne il motivo.

Se vogliamo calcolare la forza con cui interagiscono gravitazionalmente la Terra e il Sole, secondo una scala umana, questi corpi celesti non si possono di certo considerare puntiformi. Se si tiene presente la loro distanza (150 milioni di chilometri) e la si confronta con i loro raggi (raggio del Sole 0,69 milioni di km - raggio della Terra 0,006 milioni di km), allora anche i corpi celesti possono essere considerati puntiformi senza alcun problema.

Ben diversa è la situazione in cui dobbiamo calcolare con quale forza interagiscono la Terra e un'automobile parcheggiata sotto casa: in questo caso considerare la Terra puntiforme è un'approssimazione quantomeno eccessiva!

Bisogna però precisare che esiste la possibilità di dimostrare (e lo faremo) che si può immaginare tutta la massa di un corpo esteso sferico come concentrata nel suo centro di massa, che diventa anche il punto di applicazione della forza. Tra due corpi estesi qualunque, che non si possono approssimare a punti materiali, la forza di attrazione gravitazionale si esercita lungo la linea congiungente i centri di massa dei due corpi.

4) Un'ulteriore proprietà: la forza di attrazione gravitazionale è una forza che si esercita a distanza e non necessita di alcun contatto tra i corpi, né richiede la presenza di un mezzo tra di essi.

5) Infine, la forza espressa dalla legge di interazione gravitazionale ha un raggio di azione infinito. Ad esempio, potete allontanarvi dalla Terra quanto volete, potete raggiungere anche un'altra galassia se ne siete capaci, ma ovunque vi troviate risentirete sempre la forza di attrazione gravitazionale terrestre. Se siete molto lontani il suo valore sarà piccolissimo, praticamente nullo, ma per quanti zeri possa avere dopo la virgola, non sarà mai uno zero esatto.

Legge di gravitazione universale in forma vettoriale

6) Poiché la forza è una grandezza vettoriale ha senso domandarsi quale sia la la formula vettoriale della legge di gravitazione universale. Se indichiamo con

il vettore che punta dalla posizione alla posizione , e con il suo modulo, vale la formula

dove indica la forza gravitazionale esercitata dal corpo 1 sul corpo 2. Per chi ha dimestichezza con i vettori, il rapporto individua il versore di (in caso di dubbi: come normalizzare un vettore).

Per quanto riguarda le notazioni, scegliamo di indicare il corpo che esercita la forza con il primo pedice e il corpo su cui viene esercitata la forza con il secondo pedice. In generale può capitare di imbattersi in testi che utilizzano la notazione inversa. Non è rilevante: ciò che importa è tenere a mente i concetti e rimanere sempre coerenti con la notazione che si sceglie. ;)

Dal segno meno che compare nella precedente formula si evince che la forza gravitazionale è attrattiva lungo la direzione congiungente i due corpi. Ognuno dei due corpi esercita la medesima forza sull'altro: ad esempio la Terra attira a sé la Luna con la stessa forza con cui la Luna attira a sé la Terra, per via del terzo principio della dinamica.

Alla luce di ciò è immediato intuire che la forza esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 sarà data da

dove chiaramente , ossia punta dalla posizione alla posizione .

7) La legge di gravitazione universale ci permette di calcolare la forza che si esercita soltanto tra due corpi. Se volessimo sapere qual è la forza alla quale è soggetta la Terra per via della presenza del Sole e della Luna, dovremmo ragionare con i vettori e considerare le forze separatamente, per ciascuna coppia di corpi alla volta. Calcoleremmo così la forza tra la coppia Terra-Sole e poi quella tra la coppia Terra-Luna, per poi calcolare la somma vettoriale delle due forze badando alle loro direzioni oltre che ai loro moduli.

8) Come vedremo più avanti nelle lezioni dedicate all'Elettromagnetismo, c'è un forte parallelismo tra la legge di gravitazione universale e la legge di Coulomb.

Nella lezione successiva studieremo un po' più nel dettaglio la costante di gravitazione universale. Nel frattempo, se siete in cerca di problemi e di esercizi svolti, vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

Buona Fisica a tutti!

Alessandro Catania (Alex)

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Ultima modifica: 02/05/2023