Fattoriale

Il fattoriale di un numero naturale n si indica con n! ed è uguale al prodotto di tutti i numeri interi positivi minori o uguali a n. Se consideriamo un qualsiasi numero naturale n, il fattoriale di n si calcola moltiplicando n per tutti gli interi positivi che lo precedono.

Vi sarà sicuramente capitato di imbattervi in un numero seguito da un punto esclamativo, ad esempio 5!, 7! o ancora 12!. Quei punti esclamativi hanno un significato matematico ben preciso: indicano i fattoriali dei numeri che li precedono.

Tra poco vedremo come si definisce e come si calcola il fattoriale di un numero, compreso il fattoriale di zero (0!). Daremo la definizione ricorsiva di fattoriale e ne mostreremo gli utilizzi con l'aiuto di qualche esempio. Dalle prossime lezioni ne apprezzeremo l'utilità nel Calcolo Combinatorio, dove il fattoriale gioca un ruolo da protagonista.

Fattoriale di un numero

Il fattoriale di un numero si indica per mezzo di un punto esclamativo e viene definito per i numeri naturali, dunque anche per lo zero (***).

Se , si pone per convenzione che zero fattoriale sia uguale a 1.

Se è un numero naturale positivo, il fattoriale di è dato dal prodotto di tutti i numeri naturali minori o uguali a , zero escluso.

n! = 1 se n = 0 ; n·(n−1)·...·2·1 se n ∈ N, n ≠ 0

La definizione di fattoriale di un numero naturale positivo può anche essere scritta in forma compatta usando il simbolo di produttoria:

n! = 1 se n = 0 ; Π_(k = 1)^(n) k se n ∈ N, n ≠ 0

(***) In realtà la nozione di fattoriale si può estendere anche ai numeri interi negativi e più in generale ai numeri reali, ma è un punto di vista che non tratteremo in questa lezione perché richiede strumenti di calcolo avanzati, che si studiano nei corsi universitari di Analisi Matematica.

Esempi di numeri fattoriali

Vediamo qualche esempio e calcoliamo i fattoriali dei numeri 5, 7 e 10.

Tutti e tre sono numeri naturali non nulli, dunque per calcolare i rispettivi fattoriali (5!, 7!, 10!) moltiplichiamo ciascuno di essi per i numeri naturali positivi che li precedono:

5! = 5·4·3·2·1 = 120 ; 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 ; 10! = 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 3 628 800

Da questi esempi si intuisce che il fattoriale di cresce molto rapidamente al crescere di . Per averne un'ulteriore conferma basta dare un'occhiata alla seguente tabella, che riporta i valori dei fattoriali dei numeri naturali compresi tra 0 e 15.

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000

Definizione ricorsiva di fattoriale

Riscriviamo la definizione di fattoriale

n! = 1 se n = 0 ; n·(n−1)·(n−2)·...·2·1 se n ∈ N, n ≠ 0

e concentriamoci sul caso :

Osserviamo che il prodotto dal secondo all'ultimo fattore equivale a

infatti è il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a . Di conseguenza:

n! = n·(n−1)·(n−2)·...·2·1 (= (n−1)!) = n·(n−1)! se n ∈ N, n ≠ 0

Possiamo quindi fornire una formulazione alternativa, nota come definizione ricorsiva del fattoriale

n! = 1 se n = 0 ; n·(n−1)! se n ∈ N, n ≠ 0

Con definizione ricorsiva si intende una definizione iterativa, descritta per mezzo di due asserti: il primo individua esplicitamente il primo elemento, il secondo individua il generico elemento a partire dal precedente.

Esempi di utilizzo della definizione ricorsiva di fattoriale

La definizione ricorsiva del fattoriale è utile per svolgere alcuni tipi di esercizi, quali potrebbero essere la verifica di uguaglianze oppure la risoluzione di equazioni. Vediamo un paio di esempi.

1) Verificare la seguente uguaglianza

Svolgimento: lavoriamo sul primo membro e cerchiamo di ricavare l'espressione a destra del simbolo di uguale

Applichiamo la definizione ricorsiva di fattoriale e sostituiamo

Raccogliamo a fattor comune

Il prodotto tra e è uguale a

e, grazie alla definizione ricorsiva di fattoriale applicata a , otteniamo

che è il secondo membro dell'uguaglianza.

2) Risolvere la seguente equazione

Svolgimento: usiamo la definizione ricorsiva di fattoriale e sostituiamo

Poiché è un numero naturale positivo nella nostra ipotesi, ne consegue che è un numero naturale

e in particolare risulta

Ciò permette di dividere ambo i membri dell'equazione per , da cui la soluzione .

Funzione fattoriale

Si definisce funzione fattoriale, e si indica con , la funzione definita su e a valori in che associa a il fattoriale di :

!:N → N ; n ↦ n! = 1 se n = 0 ; n·(n−1)! se n ≠ 0

Per questa lezione è tutto! La prossima è dedicata al coefficiente binomiale, un altro tassello fondamentale del corso sul Calcolo Combinatorio. Avremo così tutto quello che serve per entrare nel vivo degli argomenti, a partire dalle permutazioni, dove la definizione di fattoriale interviene prepotentemente.

Vi segnaliamo infine il tool per il calcolo del fattoriale online e l'approfondimento sul doppio fattoriale. Vi ricordiamo inoltre che con l'aiuto della barra di ricerca potete trovare tanti altri esercizi con cui allenarvi, oltre a quelli presenti nella scheda correlata di esercizi risolti sul fattoriale. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

.....

Tags: cos'è il fattoriale di un numero - calcolo del fattoriale - definizione ricorsiva del fattoriale - funzione fattoriale.

Ultima modifica: 09/05/2023