Combinazioni semplici

Una combinazione semplice è un raggruppamento di k elementi distinti selezionati tra n elementi distinti, con k≤n e nell'ipotesi che l'ordine con cui gli elementi si susseguono sia irrilevante. In altre parole si definisce combinazione semplice di classe k ogni sottoinsieme di k elementi estratti da un insieme di n elementi, con n≥k.

Nella precedente puntata del corso sul Calcolo Combinatorio abbiamo introdotto i due tipi di combinazioni, semplici e con ripetizione, proponendone velocemente le definizioni e le formule di calcolo. Ora ci accingiamo a trattare dettagliatamente le combinazioni semplici, conosciute anche con il nome di combinazioni senza ripetizione.

Vediamo quindi cos'è una combinazione semplice e, soprattutto, come si calcola il numero di combinazioni semplici, fornendo la dimostrazione della formula. Concluderemo con alcuni esempi che metteranno in evidenza quando, come e perché si usa questo tipo di combinazione.

Prima di procedere è indispensabile che sappiate cosa sono una disposizione semplice e una permutazione semplice. In caso di dubbi vi rimandiamo alle pagine degli omonimi link.

Definizione di combinazione semplice

Supponiamo di avere elementi distinti e sia un numero naturale minore o uguale a .

Si dicono combinazioni semplici di classe k, o equivalentemente combinazioni senza ripetizione di classe k, tutti i raggruppamenti che si possono formare partendo dagli elementi, in modo che:

- ogni raggruppamento abbia esattamente elementi distinti;

- i vari raggruppamenti differiscano tra loro per almeno un elemento, e non per l'ordine.

Le combinazioni semplici di classe k sono anche dette combinazioni semplici a k a k.

I più attenti avranno notato una certa somiglianza tra la definizione di combinazione semplice e quella di disposizione semplice. Entrambe sono raggruppamenti di elementi distinti estratti tra elementi distinti, ma vi è una sostanziale differenza.

Nelle combinazioni semplici non c'è alcun riferimento sull'ordine degli elementi, e ciò significa che due o più raggruppamenti con gli stessi elementi sono considerati la stessa combinazione anche se l'ordine con cui si presentano è diverso.

Nel caso delle disposizioni semplici, invece, due raggruppamenti che hanno gli stessi elementi ma che differiscono per l'ordine con cui si presentano sono disposizioni diverse.

Da questa osservazione deduciamo che le combinazioni semplici di classe di elementi si possono ottenere dalle disposizioni semplici di medesima classe: basta individuare quelle che differiscono solo per l'ordine degli elementi, e considerarle come la stessa combinazione.

Esempio sulle combinazioni semplici degli elementi di un insieme

Vediamo un esempio e formiamo tutte le combinazioni senza ripetizione di classe 2 degli elementi dell'insieme .

Per prima cosa scriviamo tutte le disposizioni semplici di classe 2, ossia tutti i gruppi formati da 2 elementi distinti dell'insieme , e che si differenziano tra loro per almeno un elemento oppure per l'ordine con cui gli elementi si susseguono.

Per essere sicuri di non dimenticarne nessuna basta fissare la prima lettera di ogni gruppo, che può essere una tra , e fare variare la seconda, che può essere una delle tre rimaste.

Procedendo in questo modo otteniamo le seguenti disposizioni semplici di classe 2:

Tra di esse quelle che cambiano solo per l'ordine degli elementi, e che quindi individuano una medesima combinazione semplice di classe 2, sono:

In definitiva le combinazioni senza ripetizione di classe 2 degli elementi di sono:

Calcolo del numero di combinazioni semplici

Il numero di combinazioni semplici di classe di elementi distinti si indica con , dipende solo da e da , ed è dato dal rapporto tra il fattoriale di e il prodotto tra il fattoriale di e il fattoriale di

Dalla formula per il calcolo del coefficiente binomiale sappiamo che se sono numeri naturali, e se , allora

dunque possiamo riscrivere la formula per il calcolo del numero di combinazioni semplici nella seguente forma:

Dimostrazione della formula per il calcolo del numero di combinazioni semplici

Vogliamo ora dimostrare che se sono numeri naturali, con , allora il numero di combinazioni semplici di classe di elementi distinti è

Dimostrazione

Abbiamo già osservato che le combinazioni di classe di elementi di un insieme si ottengono dalle disposizioni semplici della medesima classe, individuando quelle che cambiano solo per l'ordine degli elementi.

Ciò implica che le disposizioni semplici di classe si possono ricavare dalle combinazioni semplici permutando gli elementi di ciascuna combinazione, ossia determinando le permutazioni semplici degli elementi di ogni combinazione.

In buona sostanza il numero di disposizioni semplici di classe è uguale al prodotto tra il numero di combinazioni semplici della stessa classe e il numero di modi di permutare elementi distinti, dunque vale la formula

dove:

è il numero di disposizioni semplici di classe di elementi, ed è uguale al rapporto tra il fattoriale di e il fattoriale di

è il numero di permutazioni semplici di elementi, ed è pari al fattoriale di

Torniamo alla formula e invertiamola in favore di

Sostituiamo e

e scriviamo la frazione di frazione come un'unica frazione

Ci siamo! Abbiamo ottenuto quanto volevamo provare:

Esempi sul calcolo del numero di combinazioni semplici

1) In una classe di 26 alunni si devono eleggere 2 rappresentanti di classe. In quanti modi diversi si può fare questa scelta?

Svolgimento: ogni gruppo di rappresentanti di classe è un raggruppamento di 2 elementi distinti formato a partire da un insieme che ne contiene 26.

Inoltre, ogni raggruppamento è diverso dall'altro solo se cambia almeno un elemento, infatti l'ordine con cui i rappresentanti vengono eletti non ha alcuna importanza.

Da ciò deduciamo che ogni gruppo di rappresentanti è una combinazione semplice di classe 2 di 26 elementi, dunque per calcolare il numero di scelte possibili usiamo la formula delle combinazioni semplici

e sostituiamo e

2) Nel gioco del Texas Hold'em si distribuiscono a ciascun giocatore 2 carte estratte da un mazzo che ne contiene 52. In quanti modi diversi si possono ricevere le carte?

Svolgimento: ogni coppia di carte ricevute è una combinazione semplice di classe 2 degli elementi dell'insieme formato dalle 52 carte del mazzo.

Osserviamo infatti che:

- le due carte sono diverse;

- ogni coppia di carte è diversa da un'altra se cambia almeno una carta;

- l'ordine con cui si ricevono le carte è irrilevante.

Il numero di modi con cui si possono ricevere le carte è allora uguale al numero di combinazioni semplici di classe 2 di 52 elementi:

3) Quante colonne si devono giocare al SuperEnalotto per essere sicuri di fare sei?

Svolgimento: nel gioco del SuperEnalotto vengono estratti sei numeri interi tra 1 e 90, e per fare sei occorre indovinarli tutti. Le estrazioni avvengono senza reinserimento, dunque i numeri delle sestine sono distinti tra loro. Per selezionare i sei numeri si giocano le cosiddette colonne, che non sono altro che sequenze di sei numeri scelti a caso da chi gioca.

Ogni sequenza è diversa dall'altra se cambia almeno un numero, e l'ordine con cui i numeri vengono giocati non è rilevante.

In buona sostanza ogni colonna giocata al SuperEnalotto è una combinazione semplice di classe di elementi, dunque per essere sicuri di fare sei si devono giocare colonne. Calcoliamone il valore:

Ci fermiamo qui ma vi aspettiamo nella successiva lezione, dove analizzeremo le combinazioni con ripetizione, l'ultimo dei metodi con cui si può raggruppare un numero finito di elementi.

Come di consueto vi rammentiamo che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna: ci sono migliaia di lezioni, approfondimenti ed esercizi risolti, e in particolare quelli della scheda di esercizi sulle combinazioni. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 09/05/2023