Combinazioni
Una combinazione è un raggruppamento di k elementi, presi in qualsiasi ordine, formato a partire da n elementi distinti. In termini più rigorosi si dice combinazione ogni sequenza di k elementi estratti tra n elementi distinti, nell'ipotesi che l'ordine di estrazione sia ininfluente.
Riassunto delle puntate precedenti: abbiamo introdotto le nozioni generali di permutazione e di disposizione, e abbiamo definito e analizzato i vari tipi di permutazioni e di disposizioni. Per farlo siamo partiti da 
elementi e per comporre i raggruppamenti abbiamo sempre tenuto conto dell'ordine con cui gli elementi si susseguivano.
Non sempre però l'ordine degli elementi va preso in considerazione. Si pensi ad esempio al gioco del SuperEnalotto, in cui vengono estratti sei numeri e si vince se se ne indovinano due o più, indipendentemente dall'ordine con cui sono stati giocati e da quello con cui sono stati estratti. In questo e in tutti i casi in cui l'ordine degli elementi non ha importanza si parla di combinazioni.
Definizione di combinazione
Si definiscono combinazioni di classe k di elementi distinti tutti i raggruppamenti che si possono formare a partire dagli elementi, in modo che:
- ogni raggruppamento contenga esattamente 
elementi;
- i vari raggruppamenti differiscano tra loro per almeno un elemento, ma non per l'ordine.
Se i elementi di ogni raggruppamento devono essere distinti tra loro, si parla di combinazioni semplici. Se invece uno stesso elemento può essere ripetuto, si ha a che fare con combinazioni con ripetizione.
Nella definizione di combinazione non si fa alcun cenno sull'ordine dei raggruppamenti, vale a dire che i vari raggruppamenti vanno considerati indipendentemente dall'ordine con cui gli elementi si presentano.
Per chiarire ogni dubbio vediamo un esempio e determiniamo le combinazioni di classe 2 degli elementi dell'insieme 
.
Ogni combinazione di classe 2 è un raggruppamento formato con 2 elementi di 
. Inoltre ogni combinazione si distingue da un'altra se cambia almeno un elemento.
• Se i due elementi devono essere diversi tra loro, ossia se non sono ammesse ripetizioni, tutte le possibili combinazioni di classe 2 sono
• Se invece sono ammesse ripetizioni, si hanno le seguenti combinazioni:
Proprio perché i raggruppamenti vanno presi indipendentemente dall'ordine degli elementi da cui sono composti, la sequenza 
e la sequenza 
rappresentano la stessa combinazione, dunque si deve considerare solo una delle due e la scelta è del tutto ininfluente.
Lo stesso ragionamento vale per i raggruppamenti 
e 
e per i gruppi 
e 
.
Tipi di combinazioni
Esistono due tipi di combinazioni: le combinazioni semplici (o combinazioni senza ripetizione) e le combinazioni con ripetizione.
Come suggeriscono i nomi stessi, la differenza tra i due tipi di combinazioni è che le combinazioni semplici sono formate da elementi distinti tra loro, mentre nelle combinazioni con ripetizione uno stesso elemento può essere ripetuto fino a volte.
Passiamo alle definizioni e alle formule con cui si calcolano il numero di combinazioni semplici e il numero di combinazioni con ripetizione.
Combinazioni semplici (dette anche combinazioni senza ripetizione)
Si dice combinazione semplice ogni sequenza di elementi distinti estratti tra elementi distinti, indipendentemente dall'ordine e con 
.
Il numero di combinazioni semplici si indica con 
ed è dato dal coefficiente binomiale su
Combinazioni con ripetizione
Si dice combinazione con ripetizione ogni sequenza di elementi estratti tra elementi distinti, con la possibilità che ogni elemento possa ripetersi fino a volte all'interno della stessa sequenza, e indipendentemente dall'ordine.
Il numero di combinazioni con ripetizione si indica con 
ed è uguale al coefficiente binomiale 
su
Esempi sulle combinazioni
1) Elencare e calcolare il numero di combinazioni semplici di classe 3 degli elementi dell'insieme definito per caratteristica:
Svolgimento: scriviamo esplicitamente gli elementi di 
, ossia rappresentiamo l'insieme per elencazione
La vocale 
va riportata una sola volta, anche se compare due volte nella parola aiuola. Questo perché, per definizione di insieme, i suoi elementi devono essere distinti tra loro.
Abbiamo dunque un insieme formato da 4 elementi di cui vogliamo trovare le combinazioni semplici di classe 3. Ognuna di tali combinazioni è una sequenza di tre elementi distinti di , e ogni sequenza è diversa dall'altra solo se è diverso almeno un elemento.
Scegliamo allora tre qualsiasi elementi di e scriviamoli l'uno di seguito all'altro, ottenendo così una delle combinazioni di classe 3:
Per ricavare le altre partiamo da questa sequenza e sostituiamo ciascuna vocale con quella esclusa - nel nostro caso 
- mantenendo fisse le altre due.
- Sostituendo la abbiamo la combinazione 
- Sostituendo la 
otteniamo la combinazione 
- Sostituendo la 
ricaviamo la combinazione 
In sintesi, le combinazioni semplici di classe 3 degli elementi di 
sono:
Badate bene che nulla ci vieta di scambiare l'ordine degli elementi delle singole combinazioni. Più esplicitamente, ogni permutazione degli elementi delle singole combinazioni individua la stessa combinazione.
Per concludere l'esercizio verifichiamo che le combinazioni di classe 3 degli elementi di sono proprio quattro. Dalla formula delle combinazioni semplici sappiamo che
dove e rappresentano, rispettivamente, il numero degli elementi dell'insieme e la classe della combinazione. Sostituiamo 
e 
calcoliamo i fattoriali e semplifichiamo
2) Quali e quante sono le combinazioni con ripetizione di classe 3 degli elementi dell'insieme 
?
Svolgimento: le combinazioni con ripetizione di classe 3 degli elementi di sono tutti i gruppi di tre elementi composti con 
, che differiscono tra loro per almeno un elemento e in cui ciascun elemento può essere ripetuto fino a un massimo di tre volte.
Le alternative possibili sono:
- un gruppo formato da tre 
,
- un gruppo formato da due e da una 
,
- un gruppo formato da una e da due ,
- un gruppo formato da tre ,
ossia
Anche in questo caso l'ordine degli elementi di ogni combinazione non ha alcuna importanza. Ad esempio la combinazione formata da due e da una si può rappresentare, indistintamente, in uno dei seguenti modi
In conclusione le combinazioni con ripetizione di classe 3 degli elementi di sono quattro. Ciò viene confermato anche dalla formula sulle combinazioni con ripetizione
in cui sostituiamo 
e
Dopo questa infarinatura generale sul concetto di combinazione vi invitiamo a non perdervi le prossime lezioni. Ci occuperemo prima delle combinazioni semplici e poi delle combinazioni con ripetizione: riproporremo le definizioni spiegandole in maniera più accurata, dimostreremo le formule per il calcolo del numero di combinazioni semplici e con ripetizione, e vedremo altri esempi.
Per tutto il resto vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante lezioni, a partire dalla scheda di esercizi svolti sulle combinazioni, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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